数学猜想与数学名题

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第六讲 数学猜想与数学名题 希尔伯特和他的23个问题 费马大定理 哥德巴赫猜想 四色猜想 新世纪的数学难题

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一、 希尔伯特的23个问题希尔伯特(德国，1862—1943年)是19世纪 末和20世纪上半叶最伟大的数学家之一。他提出 的23个问题更是功勋卓著、影响深远。

那是1900年8月在巴黎召开的国际数学家大会上，年仅38岁的希尔伯特做了题为《数学问题》的著 名讲演，根据19世纪数学研究的成果和发展趋势 提出23个问题，成为数学史上的一个重要里程碑。

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在世纪之交提出的这23个问题，涉及现代数学的许多领域。一个世纪以来， 这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴

趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动作用。

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希尔伯特的23个问题1.证明“连续统假设”,即证明“可数基数”与“连续统基数”之间不存在任何基数。

2.研究算术公理的相容性。(S) 3.两个等底等高的四面体的体积相等。(S) 4.直线作为两点间最短距离的问题。(P)

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5.李(S.Lie)的连续变换群概念，但不要 定义群的函数的可微性假设。(S) 6.物理学的公理化。(P) 7.某些数的无理性和超越性。(P)

8.素数问题。(P)9.在任意数域中证明最一般的互反定律。(S)

10.丢番图方程的可解性。(F)11.系数为任意代数数的二次型。(P)

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12.阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代 数有理域上的推广。(P)

13.不可能用仅有两个变数的函数解一般的七次方程。(W)

14.证明某类完全函数系的有限性。(F)15.舒伯特(Schubert)计数演算的严格基

础。(W)16.代数曲线与代数曲面的拓扑问题。(P,W)

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17.正定形式的平方和表示。(S) 18.用全等多面体构造空间。(P) 19.正则变分问题的解一定是解析的吗？(P) 20.一般边值问题。(P) 21.具有指定单值群的线性微分方程解的 存在性证明。(S) 22.通过自守函数使解析关系单值化。(P) 23.变分法的进一步发展。(P)

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适当的问题对科学发展的价值1. 有问题的学科才有生命力问题，在学科进展中的意义是不可否认的。一门学科充 满问题，它就充满生命力；而如果缺乏问题，则预示着该学 科的衰落。正是通过解决问题，人们才能够发现学科的新方 法、新观点和新方向，达到更为广阔和高级的新境界。

数学问题的动力，不仅来自数学以外的客观世界，也来自数学内部的逻辑发展。例如：素数的理论；非欧几何；伽 罗瓦理论；代数不变量理论。

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2. 提出问题是解决问题的一半问题不是随便提的，它必须是人们关心的、有价值的。

要想预先判断一个问题的价值是困难的。问题的价值最终取决于科学从该问题得到的收益。

只有对该学科的知识有广泛而深入了解的学者

,对该学科的发展有清醒的认识和深刻洞察力的学者，才能提出

有较大价值的“好的问题” 。

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3. “好的问题”的标准希尔伯特在他的演讲中就提出了这样的标准。

1)清晰易懂: “一个清晰易懂的问题会引起人们的兴趣，而复杂的问题使人们望而生畏。”

2)难而又可解决3)对学科发展有重大推动意义问题解决的意义，不是局限于问题本身，而是波及整 个学科，推动整个学科的发展。

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“好的问题” 举例 费马大定理 五次方程根式解 最速降线问题

三体问题

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“希尔伯特问题”解决的现状经过整整一个世纪，希尔伯特的23个问题中，将近一半已经解决或基本解决。有些问题虽未解决， 但也取得了重要进展。 能够解决一个或基本解决一个希尔伯特问题的 数学家，就自然地被公认为世界一流水平的数学家， 由此也可见希尔伯特问题的特殊地位。

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希尔伯特问题的研究与解决，大大推动了许

多现代数学分支的发展，包括：数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、

代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等。

第二问题和第十问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长。

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解决著名猜想的人很牛！

提出这些猜想的人更牛！如此集中地提出一批猜想，并持久地影响 了一门学科的发展，史无前例！

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在20世纪末，人们也想模仿19世纪末的希尔伯特，提出一批有价值的数学问题。但由于20世纪数 学的分支越来越细，已没人能像当年的Hilbert那样 涉足数学的广泛领域。于是人们想到了组成一个数 学家小组，并且已经付诸行动。

新世纪的数学难题：七个由美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute,CMI) 于2000年5月24

日公布的数学难题，称为千禧难题。但是，千禧年难题只是想记载重大的未解决问题，而 不是要去指导数学。