第五章 离散信号与系统的时域分析

第五章 离散时间信 号与系统的时域分析

引连续时间系统：这类系统用于传输和处理连续时间信号离散系统：用于传输和处理离散时间信号的系统称为离散时间系统，数字计算机是典型的离散系统例子，数据控制系统和数字通信系统的核心组成部分也都是离散系统。

混合系统：连续系统与离散系统组合起来使用。

5.1 离散时间基本信号5.1.1连续时间信号，在数学上可以表示为连续时间变量t的函 数。这类信号 的特点是：在时间定义域内，除有限个不连续 点外， 离散时间信号，简称离散信号，它是离散时间变量 tk(k=0,±1, ±2, …)的函数。信号仅在规定的离散时间点上 有意义，而在其它时间则没有定义，如图 5.1-1(a)所 示。鉴 于tk按一定顺序变化时，其相应的信号值组成一个数值序列， 通常把离散时间信号定义为如下有序信号值的集合：

fk={f(tk)}

k=0, ±1, ±2, … (5.1-1)

式中，k为整数，表示信号值在序列中出现的序号。

f (tk)

f (kT)

f (k )

… t- 3 t- 2 t- 1 o (a ) t1 t2 t3

… tk

… -3T -2T -T o T 2T 3T (b )

… kT

… -3 -2 -1 o 1 2 3 (c)

… k

图 5.1 – 1

离散时间信号

式(5.1-1)中tk和tk-1之间的间隔(tk-tk-1)可以是常数，也可以随k变化。在实际应用中，一般取为常数。例如，对连续 时间信号均匀取样后得到的离散时间信号便是如此。对于这 类离散时间信号，若令tk-tk-1=T,则信号仅在均匀时刻

t=kT(k=0,±1,±2,…)上取值。此时，式(5.1 - 1)中的{f(tk)}可以改写为{f(kT)},信号图形如图 5.1-1(b)所示。 为了简便，我们用序列值的通项f(kT)表示集合{f(kT)},并

将常数T省略，则式(5.1-1)可简写为

fk=f(k)

k=0, ±1, ±2, … (5.1-2)

工程应用中，常将定义在等间隔离散时刻点上的离散时间信号 称为离散时间序列 ，简称序列

5.1.2 离散时间基本信号1. 单位脉冲序列定义为

1 (k ) 0 (k )1

k 0 k 0

-2 -1 o

1

2

k

图 5.1 – 2

单位脉冲序列

位移单位脉冲序列

1 ( k k0 ) 0或

k k0 k k0

1 ( k k0 ) 0

k k0 k k0

(k-k 0 )1 1

(k +k 0 )

o

k 0 -1 k 0 k 0 +1 (a )

k

-k 0 - 1 -k 0 -k 0 + 1 (b )

o

k

图5.1-3 移位单位脉冲序列

2. 正弦序列的一般形式为 由于

f (k ) A cos( 0k )

f ( k ) A cos( 0k ) A cos( 0k 2m ) 2 m A cos 0 k 0 A cos[ 0 ( k N ) ]

式中，m、N均为整数。式(5.1-5)表明，只有当N 2m 为整 0 2 N 数，或者 (5.1 - 6)

0

m

为有理数时，正弦序列才是周期序列；否则为非周期序列。

当

正弦序列是通过抽取连续时间正弦信号的样本获得时， 如果假设正弦信号 cos( 0t ) 的周期为T0,取样间隔为Ts,那么， 经过抽样得到的正弦序列可表示为

f (k ) cos( 0t ) t kTs

2 cos T kTs cos( 0k ) 0

2 Ts 式中， 0 , 将它代入式(5.1 - 6)可 得 T0

2 T0 N 0 Ts m

1 抽样得到的正弦序列示于图 5.1-4 中。当 Ts 16 时，有

对于连续时间正弦信号 f (t ) cos2 t , 按几种不同间隔Tsf (t ) cos 2 t t kTs cos( 2 kT s ) cos 2 k 16

2 此时， 0 16

, 是一个周期为 16 的周期性正弦序列，其

图形如图 5.1-4(a)所示。当

45.1 - 4(b)所示的序列，其 8k 可得到如图 ，是一个周 Ts 时，f (k ) cos 23 23 8 0 期为23 的周期性正弦序列。 当 ， 23 1 k 序列图形如图 - f 4(c) 所示，其 ，由 Ts 5.1 时， (k ) cos 12 6 2 T0 1 ,是一无理数，故 于 k) 是一非周期正弦序列， f( 12 0 值得注意的是此时它的包络函数f(t)6

,

0

Ts

… k

(a )

… k … (b )

…

… k

(c)

图 5.1–4

正弦序列

3. 指数序列 指数序列的一般形式为 (1)若A和 指数序列。

f (k ) Ae 均为实数，且设 e

k

则

f (k ) Ae k 为实

当a>1时，f(k)随k单调指数增长。当0<a <1时，f(k)随k

当a<-1时，f(k)的绝对值随k按指数规律增长。 当-1<a<0时，f(k)绝对值随k按指数 规律衰减。 且两者的序列值符号呈

当a=1时，f(k)为常数序列。当a=-1时，f(k)符号也呈现正、

f (k )

f (k ) 0 < <1

>1

-6

-4

-2

o (a )

2

4

6

k

-6 -4

-2

o (b )

2 f (k )

4

6

k

f (k )

<- 1-6 -4 -2 o 2 4 6 k -6 -4 -2 o

-1 < <0

2

4

6

k

(c) f (k )

(d ) f (k )

=1

=- 1

-4

-2

0

2

4

6

k

-6

-4 -2 0

2

4

6

8 k

(e)

(f)

图 5.1 – 5 实指数序列

(2) 若A=1,β=jΩ0,则

f (k ) e

j 0k

我们已经知道，连续时间虚指数信号e jω0t是周期信号。然 而，离散 时间虚指数序列ejΩ0k则只有满足一定条件时才是周期 的， 否则是非周 期的。根据欧拉公式，式(5.1 - 9)可写成j 0k

e

cos 0k j sin 0k

可见，e jΩ0k的实部和虚部都是正弦序列，只有其实部和虚部

同时为周 期序列时，才能保证ejΩ0k

(3) 若A和β均为复数，则f(k)=Aeβk为一般形式的复指数序列 。 设复数A=|A|ejφ, β=ρ+jΩ0,并记eρ=r, 则有

f ( k ) Ae A e e Ar ek k j ( 0 k )

k

j ( j 0 ) k

Ae e

k

j ( 0 )

A r [cos( 0k ) j sin( 0k )可见，复指数序列f(k)的实部和虚部均为幅值按指数规律变化

的正弦序列。