数学研究性学习小论文

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二次函数与实际

学校：XX中学

班级：九年级

姓名：XXX

二次函数与实际

二次函数在生活中有着不少重要的应用，我们学习二次函数的时候要结合生活实例，才有助于我们更好的学习二次函数以及将我们学到的知识更好的运用于生活。二次函数的实际应用问题是函数学的一个重点也是难点，因为它是一种综合能力的考察，对于实际应用问题，它需要我们首先了解什么样的问题可以用函数这一模型解决，然后能从文字语言中抽象出数量关系，再将数量关系转化为函数关系式，或根据数量关系求出关系式，进而应函数的有关知识解决问题；这一过程需要多种能力的综合应用，包括对文字的理解能力、抽象概括能力以及符号感，知识的灵活应用等等，对于中学生来讲这些能力的发展需要一个循序渐进的过程。有时候遇到生活中的二次函数问题，由于缺乏必要的生活与课堂相结合，我们在解决实际问题的时候远没有做题时来得“聪明”。所以学习二次函数时与实际相结合，具有重要意义。

二次函数与生活到底有什么联系？

一、首先，要先了解二次函数的基本特点。 一般的，自变量 x和因变量y之间存在如下关系：

一般式

y=ax^2(上标)+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，

(4ac-b^2/4a) ；

顶点式

y=a(x+m)^2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、

h、k为常数)，顶点坐标为（-m，k）或（h,k）对称轴为x=-m或x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax²的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；

y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和

B（x2，0）的抛物线] ；

重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，

a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。 二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x^2的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像

如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到

的。

二、二次函数的这些上述特点我们在课堂上已经学得烂熟，接下来就是要和实际联系了。二次函数在生活中是广泛应用的，还有一次函数.反函数指数函数.对数函数······平常我们不易发现，原来这些我们看似无用的函数这么有用。

○1 先从函数图象入手。二次函数的图像是一条抛物线，开口可

向上也可向下，而向下的抛物线形似一座拱桥或者形似一个喷泉的纵切面。这样，二次函数就与生活联系起来了。生活中常常见到的拱桥造型美观，应用广泛，遍布于全国各地。抛物线桥孔下的水位涨落是汛期的常见现象，船只能否从桥下通过是个具有现实意义的问题。

例1：一艘装满货物的船，在上述的河流中航行，露出水面部分的

高为0.5m、宽为4m，当水位上升1m时，这艘船能从桥下通过吗？ 解决方法：1.画出实际问题的示意图。

2.探讨水位上升1m时船的最高，最宽的数学表示。

3.从点与函数图象的关系，判断船的最高与最宽处与抛物线的

位置关系

4.根据算出的船的最高、最宽处与桥孔壁间隙，做出能否安全

通过的判断。

如此，问题就解决了。

2其实生活中用的比较多的是二次函数的顶点。在课堂上老师一○

再强调顶点这一部分，就因为它对生活问题很重要。

对现在的我们来说，有时我们会买一些促销品，如何才能更省钱，

这时就会遇到顶点问题了。

例2：有一批影碟机，原销售价为每台800元，在甲 乙两家电都

有销售，甲商场用如下方法促销，买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依此类推，每多买一台则所买各台都再减少20元，但每台最低不

能低于440元，乙商场一律按75%销售。某单位需购买一批该种影碟机，问哪家商场购买花费较少？

依题意，设出自变量，因变量，可以得一个二次函数解析式，接下来就很容易了，利用课堂上学的知识，很快就可以解决问题。

对于未来的我们来说，有人可能会做一个公司经理，生产商品，此时也可能遇到一些二次函数问题。

例3：进行市场调查发现：信息一：如果单投资A种产品，则所获利润Y a鱼投资金额X之间存在的正比例关系Ya=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元 信息二：如果单独投资B种产品，则所画利润Yb与X之间存在的二次函数关系：Yb=ax2+bx， 并且投资2万元时可获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元。

如果企业同时对A B两种产品共同投资10万元，作为公司经理，要设计一个利润最大的方案。此时，利用二次函数知识，就可以制定出一个最好的方案，从而在市场竞争下取得优势。

三、 函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，它们的形式虽然不同，但本质上是相互连接的，有密切关系。

我们知道形如ax2+bx+c=0的方程是一元二次方程，而形式为y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）是二次函数。它们在形式上几乎相同，差别只是一元二次方程的表达式等于0，而二次函数的表达式等于y。这种形式上的类似使得它们之间的关系格外密切，很多题型都是以此来命题。为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取0时，二次函数就变成一元二次方程。由此可见，方程中的很多知识点可以运用在函数中。

在中学代数中一块很重要的内容，那就是二次函数。二次函数既简单又具有丰富的内涵和外延。可以作为函数来研究，也可以结合图形来研究。 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等性质，还可建立起二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的有机联系；结合图形，二次函数的图象是一条抛物线，它可以联系其它平面曲线讨论相互之间的关系。 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问。由于二次函数抽象，因此，学好二次函数要和实际相联系。当然，在与实际联系的过程中，也为我们解决了不少难题。可见，二次函数与实际，密不可分。