3-5 凹凸性 拐点.渐近线

第五节

第三章

曲线的凹凸性,拐点与渐近线一、曲线的凹凸性 二、曲线的拐点 三、渐近线

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1、曲线凹凸性的概念定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,

(1) 若恒有图形是凹的; (2) 若恒有

B

则称

则称

A 图形是凸的 .

yy

oo

x1 x x1 x x1x1 2 2x2x2 x x 2 2上页 机动 目录 下页 返回 结束

2、曲线的凹凸性的判定定理1:如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有

一阶和二阶导数 , 若在 (a , b) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的 ; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .

0

0f ( x ) 递增y 0

f ( x ) 递减

y 0

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例1. 判断曲线解: 函数的定义域为

的凹凸性.

1 y , x 1 y 2 x所以在函数的定义域 由定理1知 曲线

1 内，y 2 0 x是凸的.

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例2. 讨论函数y=f(x)= 3 x 2的凹凸性区间 解: 函数的定义域为

2 13 y x , 3 2 4 y x 3 , 9 于是当x 0和x 0时，都有 y 0由定理1知 曲线 f(x)= 3 x 2 在 都是凸的机动 目录 上页 下页 返回 结束

和

例3 判断曲线 y = x 的凹凸区间 . 解： 函数的定义域为

3

y 3 x 2 , y 6 x ,

当x 0时， y 0, 曲线 在( ,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0, )为凹的；

注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.

连续曲线上凹凸区间的分界点称为曲线的拐点.

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曲线的拐点求 曲线3 解：y 4 x ,

的凹凸区间y

当x 0和x 0时，都有曲线 在

和

上都是凹的.o x

故

不是曲线的拐点.

注意: 使f ( x) 0的点仅仅是 拐点可疑点.

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求曲线 y 3 x 的拐点. 2 5 1 3 4 4 1 3 y x , 当 x 0 时 , 解 y x 3 9 9 3 x5 x 0是不可导点 , y , y 均不存在.例4

,0]上是凹的 ; 但在( ,0)内, y 0, 曲线在 (-∞在(0, )内, y 0, 曲线在[0, )上是上凸的.

点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 ))

也可能是连续曲线 y f ( x ) 的拐点.

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曲线的拐点(1)点x0为连续曲线y=f x 的拐点可疑点,

(2)在点x0的某去心邻域内f ( x)存在,若在点x0的两侧附近f x 异号, 则点 x0 , f x0 为曲线y f x 的拐点;若在点x0的两侧附近f x 保持同号, 则点 x0 , f x0

不是曲线y f x 的拐点.

注:由f x0 0得到的 x0 , f x0 不一定是f x 的拐点关键还得判断f x 在x0两侧附近的符号。机动 目录 上页 下页 返回 结束

综上所述可归纳出求曲线 拐点的步骤：

1 确定函数定义域,求函数f x 的二阶导数f x ; 2 求解f x 0的根和f x 不存在的点;

3 将 2 中求出的点把定义域分成若干区间, 列表讨论它们左右两侧附近f x 的符号,如果f x 的符号相异则 x0 , f x0 是拐点,否则不是拐点.

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例5. 求曲线 解: 1) 求 y

的凹凸区间及拐点.

y 12 x3 12 x 2 ,

36 x( x 2 ) 3

2) 求拐点可疑点坐标11 , y 1 , y 对应 令 y 0 得 x1 0 , x2 2 1 2 27 3 3) 列表判别

x ( , 0) y y 凹

0 0 1

(0 , 2 ) 3

(2 , ) 3 02 3 11 27

凸

凹

2 在 [0, 曲线是凹的 , 故该曲线在 ( , 0] 及 [ 2 , ) 3 ]上 3 2 , 11 ) 均为拐点. ( 点 ( 0 , 1 ) 及 曲线是凸的 , 3 27机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、 渐近线的概念y f ( x )是可以延伸到无穷远处的连续曲线, 定义设曲线 . M是曲线上一点,L是一条直线,d(M,L)表示点M到直 线L的距离.如果当M沿着曲线趋于无穷远时,有

lim d( M , L) 0x

则L称是曲线y=f(x)的渐近线yLy f ( x)M d

o

x机动 目录 上页 下页 返回 结束

1. 水平渐近线 若 则曲线(或 x )

有水平渐近线 y c.

例1求曲线

的渐近线 .

1 解: lim ( 2) 2 x x 1

y 2 为水平渐近线;

2

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x

lim e 0x

y 0是曲线y=e x的水平渐近线

x

lim arctan x 2

2

y

是曲线y=arctanx的水平渐近线

x

lim arctan x 2

2

y

是曲线y=arctanx的水平渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 垂直渐近线

若 (或 x x0 )

则曲线

有垂直渐近线 x x0 .的渐近线 .

例2. 求曲线

1 解: lim ( 2) , x 1为垂直渐近线. x 1 x 1再比如

1 x 0(y轴)是曲线y= 的垂直渐近线 x机动 目录 上页 下页 返回 结束

1 lim x 0 x

3. 斜渐近线

lim d( M , L) 0 lim f ( x ) (ax b) 0 x x b f (x) b f ( x) lim a 0 lim x a 0 x x x x x x 定理: 直线y=ax+b是曲线y=f(x)的

yL

y f ( x)M d

y ax b

斜渐近线 f (x) lim a, x x ( )且 lim f ( x ) ax bx ( )机

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