第二章导数与微分习题册答案

第一节 导数概念

1、填空题

2

（1）f (0) （2）4x 12x 9 （3）16 （4）y 2x 1 （5）e

2、选择题

（1）C （2）B （3）D （4）D （5）B 3、a 2,b 1

4、y f (x) nxn 1，k f'(1) n，切线方程为y 1 n(x 1) 由于切线过点( n,0)，故0 1 n( n 1)，解之得 n 1

limf( n) lim(1

n

1n

，从而f( n) (1

1n

)，即

n

1n

n

) 1x1x

n

1e

1x

5、x 0，f (x) 2xsin

x 0，f (x) 2xcos

cos

2

1x (

1x

) 2xcos2

1x sin

1x

xsin

x 0，按左右导数来求

f(x) f(0)

x 0f(x) f(0)

x

xsin lim

x 0

22

1 0 1 0

f (0) lim

x 0

xxcos

f (0) lim

x 0

lim

x 0

x

11

2xsin cos,x 0 xx

x 0所以f(x) 0

11

2xcos sin,x 0

xx

6、f (0) lim

f( x) f(0)

x

1

( x)sin

lim

x 0

1

x 0

x

lim( x)

x 0

sin

1 x

所以 1时，f (0) 0

7、解：f (a) lim

f(x) f(a)

x a

x a

lim

(x a) (x)

x a

x a

(a)（因为 (x)在x a处连续）

g (a) lim

g(x) g(a)

x a

x a

lim

x a (x)x a

x a

(a) lim所以g

x a

g(x) g(a)

x a

lim

x a

x a (x)x a

lim

x a

(x a) (x)

x a

(a)

(a) limg

x a

g(x) g(a)

x a

lim

x a

x a (x)x a

lim

x a

(x a) (x)

x a

(a)

所以不一定可导

8、f (0) lim

f(x) f(0)

x 0

x 0

lim(x 1)(x 2) (x 2011) 2011!

x 0

9、由f(0) g(0) 0，则f (0) lim

a b lim

x 0

f(x)x

x 0

，g (0) lim

g(x)x

x 0

f(x)

a bf (0) f (0) f(x)c f (0)x

由④，lim

ax bf(x)cx f(x)

x 0

c

2

(f (0)) (c b)f (0) a 0

同理lim

ax bg(x)cx g(x)

a b lim

x 0

f(x)

x a bg (0) g (0) f(x)c g (0)x

x 0

c

(g (0)) (c b)g (0) a 0

2

即f (0)，g (0)为方程x (c b)x a 0的根，依根与系数的关系有：

2

f (0) g (0) a

又由②，f (0) g (0) 1，所以a 1

要上述推导有效，还需要证明c f (0) 0，c g (0) 0（反证） 现证c f (0) 0，c g (0) 0 则a bf (0) 0（因为f (0)存在）

ax bf(x)cx f(x)

b(cx f(x))cx f(x)

由f (0) c，所以a bc，从而f (0) lim

x 0

lim

x 0

b

2

同理g (0) b，又因为f (0) g (0) 1 b 与b是实数矛盾．

第二节 求导法则与基本初等函数

1、填空题

（1）y 2x 1 （2）k 2、（1）D （2）B (3)D 3、（1）y' axlna axa 1

（2）y 2xlnxcosx x(cosx sinxlnx)

x

2

1

=2xlnxcosx xcosx xsinxlnx （3）y' nsin

nsin nsin nsin

n 1

2

xcosxcosnx nsinxsinnx

n

n 1

x(cosxcosnx sinxsinnx) xcos(x nx) xcos(n 1)x sinxx

n 1

n 1

（4）y xtanx ．

(sinx)'x sinx x'

2

y' x'tanx x(tanx)' tanx xsecx

2

x

xcosx sinx

x

2

'

secx cscx

（5

）y' ' esinx '

x lnx

x

e

x

'sinx e sinx '

x

secx cscx '(x lnx) secx cscx (x lnx)'

x

lnx

2

esinx ecosx

xx

secxtanx cscxcotx (x lnx) secx cscx (1

x lnx

a

2

1

2

)

（6）y' x ax

2

2

a

2

' a

2x

' a

x2

'

'

a 1

2lna a

arcsinx xx

（7）y' x'arctanx x arctanx ' e 'sinx e sinx ' 2

1 x

arctanx

x1 x

2

esinx ecosx

xx

1

xxxx

1 ex (1 e)'(1 e) (1 e)(1 e)'

（8）y' x x2

(1 e) 1 e

x

x

x

x

'

e(1 e) e(1 e

(1 e

x

2

)

)

4、x 0，f'(x) 1

x 0，f'(x) cosx x 0时，

f' (0) lim

x 0

f(x) f(0)x 0

f(x) f(0)

x 0

lim

x 0

sinx 0xx 0x

1

f' (0) lim

x 0

lim

x 0

1

cosx,x 0

所以f'(x)

1,x 0

5、（1）y' sin(wt 1) '

cos(wt 1)(wt 1)' wcos(wt 1)

（2）y' lnsine

3x

'

cosesine

3x3x

sine '

3x

sine3e

3x

3x

e '

3x

cose

3x

3x

sine

1

（3

）y arcsin

x2

x

112

(4 x)2( 2x) 22

=arcsin

x2

（4）y'

3 x

'

1

2

x 1

23

x

2

x 1 '

2x 13

x

2

x 1

23

（5）y'

'

1

12

'

2

1

12

cosx '

2

2

( 2cosxsinx)

（6）因为y e

ln(1 x)(1 x)(1 x) (1 x)

23n

e

ln(1 x) ln(1 x) ln(1 x) ln(1 x)

23n

n 1

1 2xnx

y' (1 x)(1 x) (1 x) 2n

1 x 1 x1 x

2

n

6、（1）y f

(u)，u

dy

1

1

1

dydu1 dydydu1 1

f'(u)

x2= f'(u) x2 f x2 dxdudx2dxdudx22

2

2

2

（2）y' (f(arctanx 7sinx))' (g(secx tanx))'

f'(arctanx 7sinx)(arctanx 7sinx)' g'(secx tanx)(secx tanx)' 2x 22

f'(arctanx 7sinx) 14sinxcosx 2

1 x

2

2

2

2

2

2

g'(secx tanx)(2secxtanx secx)

222

7、不一定成立．

对于x x0处，f(x)是否可导须按定义来验证，如

x 0 x,

f(x)

sinx,x 0…… 此处隐藏：8138字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……