以不变应万变,探究图形面积的巧算方法——评析2009年浙江省绍兴

对2009年浙江省绍兴市中考卷第10题的分析,用直接和间接两种方法来求带有字母的正比例函数和直线围成图形的面积,从而得出一种简单、有效的求面积的方法,并应用于同类题的拷贝中(2008年福建省福州卷和2009年浙江省宁波卷),然后再引申到由双曲线或抛物线与直线所组成的不规则图形面积,用微积分方法求出面积,从而探究出由几个带有字母的函数图象与直线所组成的图形面积和的

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J u n lo hn s te t s E u ain o r a f C ie e Mah mai d c t c o

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第 7 8期—

评祈

2009年浙 z省绍兴市中考卷选择题第 1题 工 0

柔羹浙省兴袍中) (绍市江学江摘要：对 2 0年浙江省绍兴市中考卷第 1的分析，用式 .它巧妙地把函数与求图形面积结合起来，并设置了两个 09 0题直接和间接两种方法来求带有字母的正比例函数和直线围成图“碍”障：一个是正比例函数 Y=, Y=( 0+1, ) Y=(+2的 0

形的面积，从而得出一种简单、有效的求面积的方法，并应用比例系数中均为含有。的代数式，也就是说这三个函数是不确于同类题的拷贝中 (0 8年福建省福州卷和 2 0浙江省宁波定的，它们随着。的变化而变化；另一个是如何求三角形和梯 20 0 9年卷),然后再引申到由双曲线或抛物线与直线所组成的不规则图形的面积 .能否从这五个分散的图形中用大家都熟悉的割补

形面积，用微积分方法求出面积，从而探究出由几个带有字母法，来拼成一个完整的几何图形呢？在提供的四个选项中，有的函数图象与直线所组成的图形面积和的固定方法，得到面积两个答案与。关，有两个答案均含有 n无，如果能真正理解函的值与函数关系式中字母无关的结论，以不变应万变.

数的同学，通过计算每块阴影部分的面积，虽然方法比较烦

关键词：面积；割补法；图形转换；含有字母的函数解析式

琐，但也能把结果算出来 .如果深层次思考一下，计算得到每一

列上下两个图形的面积相等，即底边和高都相等，那么自然

“不变”是一种智慧，是能在瞬息万变的现象中抓住其关键而然会想到用割补法来求面积，把五个分散的面积合在一起，和本质的战略眼光 .这个世界上，不变是相对的，而变化才是绝问题就转化为求一个三角形面积 .这样两个“障碍”也突破

对的.纷繁的变化我们无法控制，我们所需要的正是以不变应万了，答案也清晰地浮出了水面 .一般此类题也可以已知具体的变的睿智.下面以 2 0 0 9年浙江省绍兴市中考卷选择题第 l 0题为三个

正比例函数的解析式，其他条件不变来求面积，但这样题例谈谈探究图形面积的巧算方法. 题目如图 1,在轴上有 5点，个 它们的横坐标依次为 1,3,5,2,4 . 分别过这些点作轴的垂线与 3条直线Y ,Y=(+1= o ),Y=(Ⅱ+2 x交， )相0+1 )

目就显得比较死板了 .此题的设计意图就是让学生会从未知数+2 x )

。和分散的图形中跳出来，透过现象看本质，这样更能科学、 真实地考查学生的应变能力和转化思想，也是此题设计的巧妙之处 .

二、分析与解1 .分析

其中 n>0 .则图中阴影部分的面积是( ) . ( A) 1. 25 ( C)1 . 25 a一

此题的思路是必须求出每一个阴影部分图形的面积.因为经( B)2 5 ( D)2 a 5

过 1,3,5分别作轴的垂线，所以它们每两点之间的，2,4距离为 1即每一个阴影部分图形的高均为 1, .只要把= 1,3,5,2,4分别代入 Y=,= a ) Y=( Y+1, n+2中，然 后求出所对应函数值的差，这样三角

、

亮点评析

1意清晰 .题

此题是选择题的最后一道题，没有过多的文字叙述，学生形或梯形的底边长就知道了，问题也一

看就清楚是求一个三角形面积和四个梯形面积的和，但想正就迎刃而解了，但其实通过计算可以

确、快速地解出来，却有一定的难度.它涉及到一次函数与有关发现，每一块梯形阴影部分面积与它面积公式的知识点，重点考查了学生分析问题、理解函数及图所在的列的空白梯形图形面积相等， 象和图形转换等能力.充分体现了对学生数形结合思想、转化思这样就可以利用割补法把阴影部分的想和整体思想的考查..2 .设计巧妙

面积集中在△AO B中 (图 2,问题如 )就转化为求△AO B的面积了，使问题

此题突破了单纯求图形面积或割补法求图形面积的传统模化难为简.收稿日期：2 1—4 0 00 0—9

作者简介：王丽红 ( 7一 ) 1 5,女，浙江绍兴人，中学一级教师，主要从事数学教育与数学解题研究 9

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