第三章 6函数图形的描绘

函数图形的描绘一、渐近线定义:当曲线 y f ( x ) 上的一动点 P 沿着曲线 移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x ) 的 一条渐近线.

1.铅直渐近线如果x x0

( 垂直于

x 轴的渐近线x x0

)

lim f ( x ) 或 lim f ( x ) .

那么 x x 0 就是 y f ( x ) 的一条铅直渐近线

例如

y

1 ( x 2 )( x 3 )

,

有铅直渐近线两条:

x 2,

x 3.

2.水平渐近线如果x

( 平行于

x 轴的渐近线

)

lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) bx

( b 为常数 ) .

那么 y b 就是 y f ( x ) 的一条水平渐近线

例如

y arctan

x,

有水平渐近线两条:

y

2

,

y

2

.

3.斜渐近线如果 或x

lim [ f ( x ) ( ax b )] 0 ( a , b 为常数 ) .

x

lim [ f ( x ) ( ax b )] 0

那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线

斜渐近线求法:lim f (x) xx

a,

lim [ f ( x ) ax ] b .x

那么 y ax b 就是曲线

y f ( x ) 的一条斜渐近线

.

lim f ( x ) ,x 1

lim f ( x ) ,x 1

x 1 是曲线的铅直渐近线

.

又 lim

f (x) x

x

lim

2 ( x 2 )( x 3 ) x ( x 1)

x

2,

lim [x

2 ( x 2 )( x 3 ) x ( x 1)

2 x]

lim

2 ( x 2 )( x 3 ) 2 x ( x 1 ) x 1

4,.

x

y 2 x 4 是曲线的一条斜渐近线

f (x)

2 ( x 2 )( x 3 ) x 1

的两条渐近线如图

二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形.第一步 确 定 函 数 y f ( x ) 的 定 义 域 ,对 函 数 进 行 奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求 出 函 数 的 一 阶 导 数 f ( x ) 和 二 阶 导 数 f ( x );' "

第二步 求 出 方 程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 在 函 数 定 义域内的全部实根，用这些根同函数的间断 点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间 .

第三步 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f ( x ) 和 f ( x ) 的 符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点(可列表进行讨论) ;

'

"

确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;第五步 描 出 与 方 程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 的 根 对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.

第四步

注

描出图形上处于重要位置的点(峰、谷、拐点、 与坐标轴的交点等)掌握图形在各部分区间上 的主要性态(升降、凹凸等),比较准确地描 绘处函数图形的特性。

三、作图举例例1解作函数 f ( x ) D : x 0,4( x

2 ) x令 f ( x ) 0 , 令 f ( x ) 0 ,3

4( x 1) x2

2 的图形.

非奇非偶函数,且无对称性., f ( x ) x 2,x 3.

f ( x )

8( x 3 ) x4

.

得驻点得特殊点

lim f ( x ) lim [x x

4( x 1) x2

2 ] 2 , 得水平渐近线

y 2;

lim f ( x ) lim [x 0 x 0

4( x 1) x2

2 ] ,

得铅直渐近线

x 0.

列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:xf ( x ) f ( x )f (x)

( , 3 ) 3 ( 3 , 2 ) 2

( 2 ,0 )

0不存在

( 0 , )

0拐点( 3, 26 9 )

0

极值点

间 断 点

3

补充点 : ( 1 A ( 1 , 2 ),

3 , 0 ),B ( 1 , 6 ), y6

(1

3 , 0 );C ( 2 ,1 ).

作图

B

1 3

C1 2

2 1

o

x

2

A

3

f ( x)

4( x 1) x2

2

例2解

作函数 ( x ) D : ( , ),

1 2

x

2

e

2

的图形.1 2 0 .4 .

W : 0 ( x)

偶函数, 图形关于y轴对称. ( x ) 令 ( x ) 0 , 令 ( x ) 0 ,

x 2

x

2

e

2

,

( x ) x 0,

( x 1 )( x 1 ) 2

x

2

e

2

.

得驻点得特殊点

x 1, x 1 .

lim ( x ) limx

1 2

x

2

x

e

2

0 , 得水平渐近线

y 0.

列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:x ( x ) ( x ) ( x)

( , 1 ) 1

( 1 ,0 )

0 0

( 0 ,1 )

1

( 1 , )

( 1,

0拐点1 2 e )

0拐点(1, 1 2 e )

极大值1 2

y

1 2

1

o

1

x

( x )

1 2

x

2

e

2

例3 作函数 f ( x ) x 3 x 2 x 1 的图形. 解D : ( , ),

无奇偶性及周期性.f ( x ) 2 ( 3 x 1 ).

f ( x ) ( 3 x 1 )( x 1 ),

令 f ( x ) 0 , 令 f ( x ) 0 ,

得驻点

x

1 3

, 1 3

x 1. .

得特殊点

x

补充点 :

A ( 1 , 0 ),

B ( 0 ,1 ),

3 5 C ( , ). 2 8

列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点: