高考数学二轮复习专题一函数与导数、不等式第2讲基本初等函数、

1 第2讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用

一、选择题

1．(2017·池州模拟)若a ＝? ????12 10，b ＝? ????15－12，c ＝log 1

10，则a ，b ，c 大小关系为( ) C ．c ＞b ＞a D ．b ＞a ＞c

解析：因为a ＝? ????1210＝2－10∈(0，1)，b ＝? ????15－12＝5，c ＝log 13

10＜0 所以b ＞a ＞c .

答案：D

2．(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )

A ．y ＝cos x

B ．y ＝sin x

C ．y ＝ln x

D ．y ＝x 2

＋1 解析：选项A 、D 中为偶函数，B 、C 项不是偶函数．

又x 2＋1＝0无解，函数y ＝x 2

＋1无零点．

所以y ＝cos x 为偶函数，且存在零点．

答案：A

3．已知函数f (x )＝?????2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x ＞1，则函数f (x )的零点为( )(导学号 55410094) A.12

，0 B ．－2，0 C.12

D ．0 解析：当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；

当x ＞1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12

，又因为x ＞1，所以此时方程无解．综上可知，函数f (x )的零点只有0.

答案：D

4．(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a 4

L ，则m 的值为( )

2 A ．5

B ．8

C ．9

D ．10

解析：因为5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，

所以函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12

a ， 可得n ＝15ln 12

， 所以f (t )＝a ·? ??

??12t 5. 因此，当k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时， f (k )＝a ·? ????12k 5＝14

a ， 即? ????12k 5＝14

， 所以k ＝10，由题意知m ＝k －5＝5.

答案：A

5．函数f (x )＝?????ln （－x －1），x ＜－1，2x ＋1，x ≥－1，若函数g (x )＝ f (f (x ))－a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )

A ．[0，＋∞)

B ．[0，1]

C ．(－1，0]

D ．[－1，＋∞)

解析：设t ＝f (x )，则a ＝f (t )，

在同一坐标系内作y ＝a 与y ＝f (t )的图象(如图

)

当a ≥－1时，两图象有两个交点，设交点横坐标为t 1，t 2且t 1＜－1，t 2≥－1. 当t 1＜－1时，t 1＝f (x )有一解；t 2≥－1时，t 2＝f (x )有两解． 综上可知，当a ≥－1时，g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同零点． 答案：D

二、填空题

6．(2016·浙江卷)已知a ＞b ＞1，若log a b ＋log b a ＝52

，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________．

3 解析：因为log a b ＋log b a ＝log a b ＋

1log a b ＝52

， 所以log a b ＝12或log a b ＝2. 又a ＞b ＞1，知log a b ＝12

，则a ＝b 2. 由于a b ＝b a ，即(b 2)b ＝bb 2

，

所以2b ＝b 2，所以b ＝2，从而a ＝4.

答案：4 2

7．已知f (x )是奇函数，且是R 上的单调函数，若y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________．

解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实

根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78

. 答案：－78

8．(2017·沈阳质检)某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝???5x －2，0≤x ≤1，35·? ??

??13x ，x ＞1，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不超过0.02 毫克/毫升．此驾驶员至少要过________小时后才能开车．(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时)

解析：因为0≤x ≤1，所以－2≤x －2≤－1，

所以5－2≤5x －2≤5－1，而5－2

＞0.02， 又由x ＞1，得35·? ????13x ≤150，得? ????13x ≤130

，所以x ≥4. 故至少要过4小时后才能开车．

答案：4

三、解答题

9．(2017·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x

(x ∈R，且e 为自然对数的底数)．(导学号 55410095)

(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；

(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．