离散数学习题解答(第四版)清华大学出版社

第1章 习题解答

1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。

分析 首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。

其次，（4）这个句子是陈述句，但它表示的 判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然 ，但是 ”、“不仅 ，而且 ”、“一面 ，一面 ”、“ 和 ”、“ 与 ”等。但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。

1．2 （1）p:2是无理数，p为真命题。 （2）p:5能被2整除，p为假命题。

（6）p q。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真命题，因而p q为假命题。

（7）p q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命题，q为真命题，因而p q为假命题。

（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月 13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。

（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。 （10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。 （12）p q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。由于q是假命题，所以，q为假命题，p q为真命题。

（13）p q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数，由于q是假命题，所以，p q为假命题。

（14） p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。 （15） p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。

分析 命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。

1．3 令p:2 2 4,q:3 3 6,则以下命题分别符号化为 （1）p q （2）p q （3） p q （4） p q （5）p q （6）p q （7） p q （8） p q

以上命题中，（1），（3），（4），（5），（8）为真命题，其余均为假命题。 分析 本题要求读者记住p q及p q的真值情况。p q为假当且仅当p为真,q为假,而p q为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题，在4个蕴含式中，只有（2）p r，其中，p同（1），r：明天为3号。

在这里，当p为真时，r一定为假，p r为假，当p为假时，无论r为真

还是为假，p r为真。

1．5 （1）p q，其中，p：2是偶数，q：2是素数。此命题为真命题。 （2）p q，其中，p：小王聪明，q：小王用功 （3）p q，其中，p：天气冷，q：老王来了 （4）p q，其中，p：他吃饭，q：他看电视

（5）p q，其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班 （6）p q，其中，p，q的含义同（5） （7）p q，其中，p，q的含义同（5） （8） p q，其中，p：经一事，q：长一智

分析 1°在前4个复合命题中，都使用了合取联结词，都符号化为合取式，这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。在符号化时，应该注意，不要将联结词部分放入简单命题中。例如，在（2）中，不能这样写简单命题：p：小王不但聪明，q：小王而且用功。在（4）中不能这样写：p：他一边吃饭， q：他一边看电视。

2° 后4个复合命题中，都使用了蕴含联结词，符号化为蕴含式，在这里，关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。

p q所表达的基本逻辑关系为，p是q的充公条件，或者说q是p的必要条件，这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。例如，“因为p，所以q”，“只要p，就q”“p仅当q”“只有q才p”“除非q，否则 p”“没有q，就没有p”等都表达了q是p的必要条件，因而都符号化为p q或 p q的蕴含式。

在（5）中，q是p的必要条件，因而符号化为p q，而在（6）（7）中，p成了q的必要条件，因而符号化为q p。

在（8）中，虽然没有出现联结词，但因两个命题的因果关系可知，应该符号化为蕴含式。

1．6 （1），（2）的真值为0，（3），（4）的真值为1。

分析 1° （1）中公式含3个命题变项，因而它应该有23 8个赋值：000，001， ，111题中指派p, q为0, r为1，于是就是考查001是该公式p (q r)的成真赋值，还是成假赋值，易知001是它的成假赋值。

2° 在公式（2），（3），（4）中均含4个命题就项，因而共有24 16个赋值：0000，0001， ，1111。现在考查0011是它的成假赋值。

1.7 （1），（2），（4），（9）均为重言式，（3），（7）为矛盾式，（5），（6），（8），（10）为非重言式的可满足式。

一般说来，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取范式）法等判断公式的类型。

（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。 真值表法

表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重言式。

等值演算法

p (p q r)

p (p p r) （蕴含等值式） （结合律） （排中律）

( p p) p r 1 q r

1 （零律）

由最后一步可知，（1）为重言式。 （2）用等值演算法判（2）为重言式。

(p p) p ( p ) p

（蕴含等值式）

（等幂律）

p p p p 1

（蕴含等值式） （排中律）

（3）用等值演算法判（3）为矛盾式

(p q) q (p q) q

（蕴含等值式） （德·摩根律）

（结合律）

p q q p ( q q) p 0

（矛盾律） （零律）

0

由最后一步可知，（3）为矛盾式。

（5）用两种方法判（5）为非重言式的可满足式。 真值表法

由表1.3可知（5）为非重言式的可满足式。 主析取范式法

( p q) (q p)

(p q) ( q p) (p q) ( q p) ( p q) q p

p q

( p 1) (1 q)

( p ( q q) (( p p) q)

( p q) ( p q) ( p q) (p q) ( p q) ( p q) ( p q) m0 m1 m2.

在（3）的主析取范式中不含全部（4个）极小项，所以（3）为非重言式的可满足式，请读者在以上演算每一步的后面，填上所用基本的等值式。

其余各式的类型，请读者自己验证。

分析 1 真值表法判断公式的类别是万能。公式A为重言式当且仅当A的真值表的最后一旬全为1；A为矛盾式当且仅当A的真值表的最后一列全为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A的真值表最后一列至少有一个1，又至少有一个0。真值表法不易出错，但当命题变项较多时，真值表的行数较多。

A为重言式当且仅当A与2 用等值演算法判断重言式与矛盾式比较方例，

1等值；A为矛盾式当且仅当A与0等值，当A为非重言式的可满足式时，经过等值演算可将A化简，然后用观察法找到一个成真赋值，再找到一个成假赋值，就可判断A为非重言式的可满足式 …… 此处隐藏：6120字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……