青海师范大学附属第二中学高中数学 2.3.1直线与平面垂直的判定学

青海师范大学附属第二中学高中数学 2.3.1直线与平面垂直的判定学案

新人教A版必修2

[学习要求]

理解直线与平面垂直的定义；掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用；应用直线与平面垂直的判定定理解决问题． [学法指导]

借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义；通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理；通过运用判定定理感悟和体验线面垂直转化为线线垂直的思想方法. 1．直线与平面垂直

(1)定义：如果直线l与平面α内的 直线都 ，就说直线l与平面α互相垂直，记作 .直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ．

(2)判定定理：一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直． 2．直线与平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 ，叫做这条直线和这个平面所成的角．

(2)当直线与平面垂直时，它们所成的角的度数是90°；

当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角的度数是 ；直线与平面所成的角θ的范围： . [问题情境]

生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等．在判断线面平行时有判定定理，那么判断线面垂直有什么好办法呢？本节就来研究这一问题． 探究点一 直线与平面垂直的定义

问题1 如图，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗？

问题2 旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么 结论？

问题3 观察圆锥的轴与底面内哪些直线垂直？为什么？

问题4 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？

探究点二 直线与平面垂直的判定定理

问题1 请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)，问：折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直？

问题2 由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD.由此你能得到什么结论？

问题3 如图，把AD、BD、CD抽象为直线l、m、n，把桌面抽象为平面α，l与α垂直的条件是什么？

问题4 如何用符号语言表示直线与平面垂直的判定定理？

例1 如图，已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.

问题5 如图直四棱柱A′B′C′D′—ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中，

底面四边形满足什么条件时，A′C⊥B′D′？为什么？

探究点三 直线与平面所成的角

问题1 平面的斜线、斜足是怎样定义的？斜线在平面上的射影是如何定义的？问题2 直线与平面所成的角θ的取值范围是什么？

例2 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．

[达标检测]

1．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是 ( ) A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定

2．下列命题中正确的个数是 ( ) ①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；

④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．

A．0 B．1 C．2 D．3

3．直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能 ( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 [小结]

1．直线和平面垂直的判定方法

(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论： ①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β. 2．线线垂直的判定方法

(1)异面直线所成的角是90°.(2)线面垂直，则线线垂直.

2.3.1 直线与平面垂直的判定

一、基础过关

1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是 A．b⊥β C．b β A．a⊥β C．a β A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交

4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为 A．锐角三角形 C．钝角三角形

B．直角三角形 D．无法确定

( )

B．b∥β

D．b β或b∥β

( )

B．a∥β D．a β或a∥β

( )

( )

2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是

3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是

5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________； (2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________； (3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．

6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB 上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.

7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点． 求证：CF⊥平面EAB.

8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、

PC的中点，PA＝AD.

求证：(1)CD⊥PD； (2)EF⊥平面PCD.

二、能力提升

9. 如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的 个数为( ) A．4

10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折

过程中

( )

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：

填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．

12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面

B．3

C．2

D．1

PAC.

三、探究与拓展

13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离

为3，求直线AB和平面α所成的角．

跟踪训练1 一旗杆高8 m，在它的顶点处系两条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与旗杆脚不在同一条直线上)．如果这两点与旗杆脚距6 m，那么旗杆就与地面垂直，为什么？

跟踪训练2 将例2中所求的角改为求直线A1B和平面BCC1B1所成的角．