CH13 离散小波变换

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离散小波变换

主讲教师：王崇骏

2013年7月28日7时46分

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主要内容 引言 时频展开 使用Matlab 若干应用场景

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引言 小波变换的动机 福利叶变换是非常有效地计算工具 但是是时间亚元变换，在很多场合不满足需求 (石油勘探、乐谱分析)

小波的含义 “小”+“波” 时频展开 数学显微镜

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时频展开 希望定义一种工具能帮助计算信号x(t)的瞬 时傅里叶变换，记为X( ,F) 如何定义一组能够表现出信号瞬时性的基函 数，该基函数必须包括两个基本变量时间 和 频率F

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时频展开主要内容1. 短时傅里叶变换STFT 2. Gabor变换GT 3. 连续小波变换CWT 4. 小波变换WT

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短时傅里叶变换STFT确定信号局部频率特性的比较简单的方法是 在时刻 附近对信号加窗，然后计算傅里叶变 换。X( ,F)=STFT{x(t)}=FT{x(t)w(t- )}

其中，w(t- )是一个以时刻 为中心的窗函数， 注意信号x(t)中的时间t和X( ,F)中的 。

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窗函数w根据 进行了时移，扩展傅里叶变换 表达式X ( , F ) x(t )w(t )e j 2 Ft dt

短时傅里叶变换操作示意

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问题 实际运用中处理的问题与上述描述恰好相反： 给定一个信号，希望能够在时域和频域上定 位信号发生的事件，因此时间 和频率F都是 不确定的，即按上述的分析不可行(结果不 确定或有误差) 分析中，分辨率的损失是由于窗函数w(t)的 时域宽度及傅里叶变换的频率带宽所决定的； 测不准定理 信号不能同时在时域和频域准确定位

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Gabor变换引言 STFT将一个连续时间变量t的信号x(t)变换 为有两个连续时间变量的X( ,F) 意味着STFT包含了很多的冗余信息 将频率F离散化，F=Kf0 将时间离散化，在 =mT0采样

Gabor变换：X[m,k]=X(mT0,kF0)

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Gabor变换 Gabor变换公式：X [m, k ] x(t ) w(t mT0 ) e j 2 kF0t dt ______________

通过Gabor变换，信号x(t)被展开为：x(t ) X [m, k ]em,k (t )m,k

其中： em,k (t ) w(t mT0 )e j 2 kF0t

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小波变换 小波变换是强有力的时频分析(处理)工具，是 在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的。已 成功应用于很多领域，如信号处理、图像处理、 模式识别等。 小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均 具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号各 个频率子段的频率信息。这种信息对于信号分类 是非常有用的。 小波变换一个信号

为一个小波级数，这样一个 信号可由小波系数来刻画。2013年7月28日7时46分

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基本小波 也称为小波母函数 定义如下：令 t )为一平方可积函数，即 t ) L2 ( R ), ( ( 如其傅里叶变换 w)满足条件： ( | w) |2 ( R w dw 则称 t )是小波。 (

容许性条件

紧支性:在有限区域内迅速衰减到02013年7月28日7时46分

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小波的特点 具有有限的持续时间、突变的频率和振幅 波形可以是不规则的，也可以是不对称的 在整个时间范围里的幅度平均值为零 比较正弦波

2013年7月28日7时46分

部分小波波形

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2013年7月28日7时46分

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小波基函数将小波母函数 t )进行伸缩和平移， ( 令伸缩因子(称尺度因子)为a,平移因子为 ,则： t a(t ) a ( ), a 0, R , a 则称 a(t )是依赖参数a, 的小波基函数。 , 1 2

将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换2013年7月28日7时46分

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小波基函数将小波母函数 t )进行伸缩和平移， ( 令伸缩因子(称尺度因子)为a,平移因子为 ,则： t a(t ) a ( ), a 0, R , a 则称 a(t )是依赖参数a, 的小波基函数。 , 1 2

将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换2013年7月28日7时46分