第七章 函数矩阵与矩阵微分方程

第七章

函数矩阵与矩阵微分方程

函数矩阵定义： 以实变量

x 的函数为元素的矩阵 a1n ( x ) a2 n ( x ) amn ( x )

a11 ( x ) a12 ( x ) a ( x) a ( x) 22 21 A( x ) am1 ( x ) am 2 ( x )

称为函数矩阵，其中所有的元素

aij ( x ), i 1, 2, , m ; j 1, 2, , n 都是定义在闭区间 [a, b]上的实函数。函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘， 乘法，转置等几种运算，并且运算法则完 全相同。 例：已知

1 x sin x 1 x cos x A x , B ex 1 x 1 x e 计算 A B, AB, A ,2 ( A B)T x

定义：设 A( x ) 为一个 n 阶函数矩阵，如果 存在 n 阶函数矩阵 B( x ) 使得对于任何 x [a, b] 都有

A( x) B( x) B( x ) A( x ) I 那么我们称 A( x ) 在区间 [a, b] 是可逆的。

称 B( x )是 A( x ) 的逆矩阵，一般记为 A ( x ) 例 ：已知

1

1 1 A( x ) x x 0 e 那么 A( x ) 在区间 [3,5]上是可逆的，其逆为

x x x e 1 A ( x) 0 1 x e

函数矩阵可逆的充分必要条件定理 : 阶矩阵 A( x ) 在区间 [a, b] 上可逆的 充分必要条件是 A( x ) 在 [a, b] 上处处不为 零，并且

1 * A ( x) A ( x) A( x ) * 其中 A ( x ) 为矩阵 A( x ) 的伴随矩阵。 1

定义：区间 [a, b] 上的 m n 型矩阵函数不 A( 恒等于零的子式的最高阶数称为 x ) 的秩。

特别地，设 A( x ) 为区间 [a, b]上的 n 阶矩阵 函数，如果 A( x ) 的秩为 n ,则称 A( x ) 一个 满秩矩阵。 注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不 是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是 满秩的却不一定是可逆的。 例 ：已知

0 1 A( x ) 2 x x

那么 A( x ) x。于是 A( x ) 在任何区间 [a, b] 上的秩都是2。即 A( x )是满秩的。但 是 A( x ) 在 [a, b]上是否可逆，完全依赖于 a, b 的取值。当区间 [a, b] 包含有原点时， 在 A(上有零点，从而 是不可逆的 。 A( x ) x ) [a , b]

函数矩阵对纯量的导数和积分定义：如果 A( x ) ( aij ( x )) m n 的所有各元 素 在 处有极限，即

aij ( x )

x x0

x x0

lim aij ( x ) aij

(i 1, , m; j 1, , n )

其中 aij 为固定常数。则称 A( x ) 在 x 有极限，且记为x x0

x0 处

lim A( x ) A

其中

a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 A am1 am 2 amn

如果 A( x ) 的各元素 即x x0

aij ( x ) 在 x x0 处连续，(i 1, , m; j 1, , n )

lim aij ( x ) aij ( x0 )则称 A( x ) 在 x

x0 处连续，且记为

x x0

lim A( x ) A( x0 )

其中

a11 ( x0 ) a12 ( x0 ) a (x ) a (x ) 22 0 21 0 A( x0 )

am1 ( x0 ) am 2 ( x0 )设则

a1n ( x0 ) a2 n ( x0 ) amn ( x0 )

容易验证下面的等式是成立的：

x x0

lim A( x ) A, lim B( x ) Bx x0 x x0

(1)

lim( A( x ) B( x )) A B

(2) (3)

x x0 x x0

lim( kA( x )) kA

lim( A( x ) B( x )) AB

定义：如果 A( x ) ( aij ( x )) m n 的所有各元素 aij ( x )(i 1, , m; j 1, , n) 在点 x x0 处 (或在区间 [a, b] 上)可导，便称此函数矩阵 A( x ) 在点 x x0 处(或在区间 [a, b] 上)可导， 并且记为

dA( x ) A( x0 x ) A( x0 ) A ( x0 ) lim dx x x0 x 0 x a11 ( x0 ) a12 ( x0 ) a ( x ) a ( x ) 22 0 21 0 am1 ( x0 ) am 2 ( x0 ) a1n ( x0 ) a2 n ( x0 ) amn ( x0 )

函数矩阵的导数运算有下列性质：(1) A( x ) 是常数矩阵的充分必要条件是

dA( x ) 0 dx (2) 设 A( x ) ( aij ( x )) m n , B( x ) (bij ( x )) m n均可导，则

d dA( x) dB( x) [ A( x ) B( x )] dx dx dx

(3)设

k ( x ) 是 x 的纯量函数，A( x ) 是函数矩

阵，k ( x ) 与 A( x ) 均可导，则

d dk ( x) dA( x) [k ( x ) A( x )] A( x) k ( x) dx dx dx特别地，当 k ( x ) 是常数 k 时有

d dA( x ) [kA( x )] k dx dx

(4) 设 A( x ), B( x ) 均可导，且 A( x ) 与 B( x ) 是 可乘的，则

d dA( x ) dB( x) [ A( x ) B( x )] B( x ) A( x) dx dx dx因为矩阵没有交换律，所以

d 2 dA( x ) A ( x ) 2 A( x ) dx dx d 3 dA( x ) 2 A ( x) 3A ( x) dx dx

(5) 如果

A( x ) 与 A ( x ) 均可导，则dA ( x ) dA( x) 1 1 A ( x) A ( x) dx dx 1

1

(6) 设 A( x ) 为矩阵函数， x f (t )是 t 的纯量 函数， A( x ) 与 f ( t ) 均可导，则

d dA( x ) dA( x ) A( x ) f (t ) f (t ) dx dx dx