2009-2末 上海交通大学高数试卷(a类)

2009级高等数学第二学期期末试卷（A类，170学时）

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 已知 aybxdx dy 是某函数的全微分，则 （ ） 22x yx y（A）a b； （B）a b； （C）a 2b； （D）b 2a。

2. 设S为球面：x2 y2 z2 R2的外侧，在下列四组积分中，同一组的两个积分均为零的是： （ ）

（A） x2dS， x2dydz； （B） xdS， xdydz；

SSSS

（C） xdS， x2dydz； （D） xydS， ydzdx。

SSSS

3. 设L为圆x2 y2 4，则 2x2 3y2 ds （ ）

L

（A）27 ； （B） 27 ； （C）8 ； （D） 8 。

4. 设有无穷级数 an和 bn，那么 （ ）

n 1n 1

（A）当limanbn 0时， an和 bn中至少有一收敛； n

（B）当limanbn 1时， an和 bn中至少有一发散； n n 1 n 1

an （C）当lim 0时， bn收敛 an收敛； n bn 1n 1n

an （D）当lim 时， bn发散 an发散。 n bn 1n 1nn 1 n 1

5. 设幂级数 anx与 bnx收敛半径分别为1与2，则幂级数 (nan

n 1n 1n 1 n n bnn)x的收n

敛半径为 （ ）

（A）1 ； （B）2； （C）3； （D）无法确定。

二、填空题（每小题3分，共15分）

6. 设向量场F x,y,z axz x2i by xy2j z z2 cxz 2xyzk，其中a、b和 c是常数。若F的散度pF 0，则数组 a,b,c

7. 在曲面z xy上一点处的法线垂直于平面x 3y z 9 0，则该法线方程为 。

8. 设D {(x,y)x2 y2 4}，则 |x2 y2 1|dxdy 。

D

f x 9. 设函数f(x)在 0, 上连续，且lim x ， 1。S x bnsinnx， cosxx n 12

其中bn

2 0 3 f x sinnxdx，n 1,2, ，则S 。 2 an

10.若级数 s(a 0,s 0)收敛，则a和s

n 1n

三、计算下列各题（第1小题6分，第2小题8分, 共14分）

11.试确定所有定义在D x,y |x2 y2 1上的函数u u x,y ，使得

du xlnx2 y2 1dx ylnx2 y2 1dy。

12.已知函数u f x,y,z,t 关于各变量都可导，其中z z y 和t t y 由方程组

y2 yz zt2 0 u确定，求。 y t 2z 0

四、计算下列各题（每小题10分，共30分）

13.设u(x,y)在圆域D x,y |x2 y2 9内具有二阶连续偏导数，且满足

2u 2u u u9 x2 y2，而向量场 eF i j，求 F dr。这里C是D的边22 y x x yC

界，取逆时针方向。

14.

求 ，其中

x,y,z x2 y2 z2 1,z 1.

15.计算 x2ydydz ez xy2 dzdx z2 2 dxdy，其中 是曲面z 9 x2 y2满足

z 0的部分，方向取上侧。

五、（本题8分）

2 x sinx展开为x的幂级数，并指出收敛域。 16.将函数f x arctan2 x

六、（本题8分）

17.求数项级数 1

n 0 nn 1的和。（其中 2n !! 2 4 6 ... (2n)， 0 !! 1） 2n!!

x七、（本题10分） 18.已知在( , )上连续的函数f(x)满足f(x) sinx 0tf(x t)dt。证明：

11( 1)f)f()发散。 收敛，而 nnn 1n 1 n