【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 8.6空间向量及其

数学

川(理)

§8.6 空间向量及其运算第八章 立体几何

基础知识·自主学习要点梳理1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向 相同 且模 相等 的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向 线段所在的直线互相 平行或重合 的向量. (4)共面向量： 平行于同一个平面 的向量.难点正本 疑点清源1.空间向量是由平面向量 拓展而来的，因此空间 向量的概念和性质与平 面向量的概念和性质相 同或相似，故在学习空 间向量时，如果注意与 平面向量的相关内容相 类比进行学习，将达到 事半功倍的效果. 比如：

基础知识·自主学习要点梳理2. 共线向量、 共面向量定理和空间向量 基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量 a, b(b≠0), a∥b 的充难点正本 疑点清源

(1)定义式：a· b=|a||b|· cos〈a,b〉或 cos〈a,b〉 a· b =|a||b|, 用于求两个向量 的数量积或夹角； (2)非零向量 a,b,a⊥b a· b=0,用于证明两个 向量的垂直关系； (3)|a|2=a· a,用于求距离 等等.

存在实数 λ, 要条件是__________使得 a=λb _______________.

推论 如图所示，点 P 在 l 上的充要 → → 条件是OP=OA+ta ①

基础知识·自主学习要点梳理其中 a 叫直线 l 的方向向量，t∈R,在 l → → 上取AB=a,则①可化为OP= → → → → → OA + tAB ____________或OP=(1-t)OA+tOB. (2)共面向量定理的向量表达式：p= xa +yb,其中 x,y∈R,a,b 为不共线向 → → → 量， 推论的表达式为MP=xMA+yMB或 → 对空间任意一点 O,有OP= → → → → → OM + xMA + yMB __________________ 或 OP = x OM + → → 1 yOA+zOB,其中 x+y+z=___.难点正本 疑点清源2.用空间向量解决几何问 题的一般步骤： (1)适当的选取基底{a, b,c}; (2)用 a,b,c 表示相关 向量； (3) 通 过 运 算 完 成 证 明 或计算问题.

基础知识·自主学习要点梳理(3)空间向量基本定理 如果三个向量 a,b,c 不共面，那么 对空间任一向量 p,存在有序实数组难点正本 疑点清源2.用空间向量解决几何问 题的一般步骤： (1)适当的选取基底{a, b,c}; (2)用 a,b,c 表示相关 向量； (3) 通 过 运 算 完 成 证 明 或计算问题.

xa+yb+zc , {x,y,z},使得 p=____________把{a,b,c}叫做空间的一个基底.

基础知识·自主学习要点梳理3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量 a,b,在空间任取 → → 一点 O, 作OA=a, OB=b, 则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作 _____ , 〈 a, b〉难点正本 疑点清源2.用空间向量解决几何问 题的

一般步骤： (1)适当的选取基底{a, b,c}; (2)用 a,b,c 表示相关 向量； (3) 通 过 运 算 完 成 证 明 或计算问题.

0≤〈a, b〉≤π ,若〈a, 其范围是_______________ π 互相垂直 ，记作 b〉= ,则称 a 与 b_________ 2 a⊥b.

基础知识·自主学习要点梳理②两向量的数量积难点正本 疑点清源2.用空间向量解决几何问 题的一般步骤： (1)适当的选取基底{a, b,c}; (2)用 a,b,c 表示相关 向量； (3) 通 过 运 算 完 成 证 明 或计算问题.

|a||b|· 已知空间两个非零向量 a,b,则_______ cos〈a,b〉 _________ 叫做向量 a,b 的数量积，记作

a· b ,即_________________________ a· b=|a||b|cos〈a,b〉 ______ .(2)空间向量数量积的运算律

(a· b) ; ①结合律：(λa)· b=λ _______b· a ; ②交换律：a· b=_____

a· b+a· c ③分配律：a· (b+c)=_________.

基础知识·自主学习要点梳理4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a· b= a1b1+a2b2+a3b3 . (2)共线与垂直的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a∥b a=λb a1=λb1 , a2=λb2 ,难点正本 疑点清源2.用空间向量解决几何问 题的一般步骤： (1)适当的选取基底{a, b,c}; (2)用 a,b,c 表示相关 向量； (3) 通 过 运 算 完 成 证 明 或计算问题.

a3=λb3 (λ∈R) ,a⊥b a· b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0 (a,b 均为非零向量).

基础知识·自主学习要点梳理(3)模、夹角和距离公式 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 2 2 2 a + a + a 1 2 3 则|a|= a· a=_______________ , a· b cos〈a,b〉=|a||b| a1b1+a2b2+a3b3 2 2 2 2 2 2 a + a + a · b + b + b 1 2 3 1 2 3 . =________________________ 设 A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2), → 则 dAB=|AB|2 2 2 a - a + b - b + c - c 2 1 2 1 2 1 =_____________________________.

难点正本 疑点清源2.用空间向量解决几何问 题的一般步骤： (1)适当的选取基底{a, b,c}; (2)用 a,b,c 表示相关 向量； (3) 通 过 运 算 完 成 证 明 或计算问题.

基础知识·自主学习基础自测

题号1 2 3 45

答案-13

解析

②③④ 1 2 2 1 2 2 ,- , 或 - , ,- 3 3 3 3 3 3

A B

题型分类·深度剖析题型一 空间向量的线性运算思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 三棱锥 O—ABC 中，M,

N 分别是 OA,BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量 → → → → → OA,OB,OC表示MG,OG.

题型分类·深度剖析题型一 空间向量的线性运算思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 三棱锥 O—ABC 中，M,

N 分别是 OA,BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量 → → → → → OA,OB,OC表示MG

,OG.

利用空间向量的加减法和数乘 运算表示即可.

题型分类·深度剖析题型一 空间向量的线性运算思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 三棱锥 O—ABC 中，M,

N 分别是 OA,BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量 → → → → → OA,OB,OC表示MG,OG.

→ → → 1→ 2→ 解 MG=MA+AG= OA+ AN 2 3 1→ 2 → → =2OA+3(ON-OA) 1→ 2 1 → → → = OA+ [ (OB+OC)-OA] 2 321→ 1→ 1→ =-6OA+3OB+3OC.

→ → → 1→ 1→ OG=OM+MG=2OA-6OA+ 1→ 1→ OB+ OC 3 3 1→ 1→ 1→ =3OA+3OB+3OC.

题型分类·深度剖析题型一 空间向量的线性运算思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 三棱锥 O—ABC 中，M,

N 分别是 OA,BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量 → → → → → OA,OB,OC表示MG,OG.

用已知向量来表示未知向量， 一 定要结合图形， 以图形为指导是 解题的关键. 要正确理解向量加 法、减法与数乘运算的几何意 义.首尾相接的若干向量之和， 等于由起始向量的始点指向末 尾向量的终点的向量， 我们可把 这个法则称为向量加法的多边 形法则. 在立体几何中要灵活应 用三角形法则， 向量加法的平行 四边形法则在空间仍然成立.

题型分类·深度剖析变式训练 1 如图所示，

ABCD-A1B1C1D1 中，

→ → → 解 如图，连接 AF,则EF=EA+AF.

由已知 ABCD 是平行四边形， → → → ABCD 是 故AC=AB+AD=b+c, → → → 平行四边 A1D=A1A+AD=-a+c. → → → → → → 形.若 AE 由已知，A1F=2FD,∴AF=AD+DF 1→ → → → 1→ = EC , =AD-FD=AD-3A1D 2 1 1 → → → A1F=2FD,若AB=b, =c-3(c-a)=3(a+2c), → → 1→ 1 → AD=c,AA1=a,试用 又EA =-3AC=-3(b+c), → 1 → → → a,b,c 表示EF. ∴EF=EA+AF=-3(b+c) 1 1 …… 此处隐藏：2733字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……