数学九年级上北师大版第四章第四节探索三角形相似的条件课件 (1)

4.4探索三角形相似的条件(1)

回顾与思考(一)

1、你还记得三角形全等的条件吗？AAS ASA SAS SSS HL

回顾与思考(二)各角分别相等，各边成比例的两个多边形 定义： 叫相似多边形

相 相似多边形对应边的比例叫做相似比 似 相似比： 多 边 形 性质：相似多边形对应边成比例，对应角相等

判定： 各角分别相等，各边成比例，二者缺一不可

类比相似多边形的定义你能否说出相似三角形的定义？ 及其性质？相等 三条边对应________ 成比例 的两个 1. 三个角对应_______,

三角形, 叫做相似三角形 .对应角相等 各对应边________ 成比例 。 2. 相似三角形的_________, A

如果△ ABC∽ △DEF, 那么 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠FB DE F

AB AC BC DE DF EF

C

判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应角 和对应边都要一一验证呢？ 不需要

探究如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角 对应相等，那么它们相似吗？

请分小组讨论，拿出设计方案

请依据下列条件画三角形, 两人一组， 一人画△ABC,另一人画△A1B1C1 (1)使∠A= ∠A1 =30°; ∠B= ∠B1 =40°

画完后，请解答下列问题:

① ∠C= ∠C1吗？ ② 先量出自己所画的三角形三边的长度，再合作 AB AC BC 求出对应边的比 、 、 (比值精确到0.1) 它们相等吗？ A 1B 1 A 1 C 1 B 1 C 1 ③这两个三角形相似吗？ 选择另一组∠A和∠B的度数，结果呢？

通过以上动手操作，我们有什么结论？

三角形相似判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似.

用数学符号表示：∵ ∠A=∠D, ∠B=∠E ∴ ΔABC ∽ ΔDEFA

B

E

C

D

F

如果两个三角形仅有一对角是对应相 等的，那么这两个三角形似吗？

如果两个三角形有一个内角对应相等， 那么这两个三角形一定相似吗？能举 说明吗？

一角对应相等的两个三角形不一定相似.

下列图形中两个三角形是否相似？B A' A A C

D B A A' D E B C

C B'

C' A

E

B

C B'

C'

例1

如左图， D 、 E 分 别 是 ABC 的 边 AB,AC 上 的 点 ，

DE∥BC,AB=7,AD=5,DE=10,求BC的长。

AD B

EEC B

D

A

C

变形：如右图，D、E分别是 ABC的边BA,CA 延长线上的点,DE∥BC,试说明 ABC~ ADE。 结论：平行于三角形一边的直线和其他两 边(或其延长线)相交，所构成的三角形 与原三角形相似。

练习1.已知，如图(2)要 △ABC∽△ACD, 需要件∠B=∠ACD或 ∠ACB=∠ADCD

A

;

B

图2

C

A

2.已知，如图(3)要使 △ABE∽△ACD, 需要条件∠B=∠C或 ∠ADC=∠AEB

D

E

;

B

C图3

判断题： ⑴所有的等腰三角形都相似。⑵所有的等腰直角三角形都相似 。 ⑶所有的等边三角形都相似。 ⑷所有的直角三角形都相似。

(x ) (√ ) (

√ ) (x )

⑸有一个角相等的的两个等腰三角形相似。 ( x )

⑹有一个角是120°两个等腰三角形相似。

( √

)

练习：(1)已知△ABC与△A′B′C′中， ∠B=∠B′=75°,∠C=50°,∠A′=55°, 这两个三角形相似吗？为什么？ ( 2 )已 知一个 三角形 的两个角分别 是 70°和65°,你能画一个和这个三角形相 似的三角形吗？

例2 已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB试 图中有几对相似三角形.C

已知：如图Rt△ABC中， CD是斜边上的 高。 求证：△ABC∽△CBD∽△ACD 证明：∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB=90° ∴△ABC∽△CBD (两个角对应相等,两三角形相似) A 同理可证：△ABC∽△ACD ∴△ABC∽△CBD∽△ACD.

D

B

直角三角形被斜边上的高分成的 两个直角三角形和原三角形相似。

找出图中所有的相似三角形.

ABC ∽ CBD ∽ ACD(1)、AC2 =AD · AB

(第 1 题)

(2)、CD2 =AD · BD(3)、 BC2 =BD · AB

小结：通过本节课学习 你有哪些收获？