河南省信阳市2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题

河南省信阳市2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题（扫描版）新人教A

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信阳市2013~2014学年度高一上期期末

数学试卷参考答案

1x

1．A 由3<3<9得－1<x<2，UM＝{x|x≤－1或x≥2}；

由2x－5>1，得x>3，∴N＝{x|x>3}．故(UM)∩N＝{x|x>3}．

2．D 依据选项，因为{y|y＝log2x，x∈A}＝{0，1，2} {0，1，2，3，4}，所以选D.

2

3．D 平面图形与直观图形的面积之比为1∶4，由题知直观图的面积为1，则平面图形的面积S＝2＝2.

1x＝2（k－1）2（k－1）>0

4．C 由x＋2，解得y＝3－k，又交点在第一象限，则3－k>0 1<k<3. 1114111

5．B ∵f(4)＝24－log0.54＝2－2<0，f(2)＝22－log0.52＝－1>0，

1111

f(4)·f(2)<0，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的零点所在区间为(4，2)．

1

6．D 由三视图可知，原几何体是由一个底面边长为1的正方形，高为5的长方体和3个底面半径为2，高为4的圆柱组成，其体积为5＋3π.

5

7．C 依题意知a－3＋2a＝0，解得a＝1，所以直线l2的方程可化为y＝x＋2，所以直线l2的斜率为1.

8．A 若m α，n α，l⊥n，l与m可能平行、相交、也可能异面，B错误． m α，n α，l⊥m，l⊥n，需要m∩n＝A才有l⊥α，C错误． 若l⊥m，l⊥n，n与m可能平行、相交、也可能异面，D错误．

9．B 正四棱柱的体对角线即为球的直径，由题知底面边长为2，高为4，则2r＝＝2，r＝，故球的体43

积为V＝3π()＝8π.

111

10．A 设3＝4＝6＝k，则a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，a＝logk3，b＝logk4，c＝logk6，

a

b

c

2221

c＝2logk6＝logk36，a＝2logk3＝logk9，a＋b＝logk9＋logk4＝logk36，故选A.

＞1，1

11．D ∵a＞0，x＜－1时，f(x)＝a (x－1)＋1是增函数，∴－2a＋1≤a，解得3≤a＜1.

12．D 由y＝k(x－2)＋4知直线l过定点(2，4)，将y－1＝两边平方得x＋(y－1)＝4，则曲线是以(0，1)为圆心，2为半径，且位于直线y＝1上方的半圆．当直线l过点(－2， 1)时，直线l与曲线有两4－13|3－2k|5

个不同的交点，此时k＝2＋2＝4，直线记为l1；当直线l与曲线相切时，由k2＋1＝2，得k＝12，切线53

记为l2，所以当l夹在l1与l2之间时，l与曲线有两个不同的交点，因此12<k≤4.

3

13．(0，2，0) 设P点坐标为(0，a，0)，由|PA|＝|PB|，得 3

＝，解得a＝2.

33aa32a

14．27 设f(x)＝x，则f(4)＝8＝4，得2＝2，即a＝2，∴f(x)＝x2，f(9)＝27.

5

2

2

15．a≥1或a＝0 作出y＝|2－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.

22

16. 记切点为A，圆心C的坐标为(2，－2)，因为|PC|＝|PA|＋2222222

|CA|，|PA|＝|PC|－|CA|＝|PC|－r，所以当|PC|最小时，切线|PA|最|－8－6－6|小．而|PC|min即为圆心C到直线l的距离，∴|PC|min＝（－4）2＋32＝此时|PA|＝＝.

17．解：(Ⅰ)由题意知A＝{x|x≥2}，B＝{y|1≤y≤2}， ∴A∩B＝{2}.(4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知B＝{y|1≤y≤2}，又C B. ①当2a－1＜a时，a＜1，C＝Ø，满足题意．

a≥1，

②当2a－1≥a，即a≥1时，要使C B，则2a－1≤2， 3

解得1≤a≤2.

3

综上，a∈(－∞，2].(10分)

2

18．解：(Ⅰ)因为f(x)＝ax＋x，由f(2)＝－5，得2a＋1＝－5，即a＝－3， 2

所以f(x)＝－3x＋x，其定义域为{x|x≠0}．

2222

又f(－x)＋f(x)＝[－3(－x)＋－x]＋(－3x＋x)＝3x－x－3x＋x＝0， 所以函数f(x)是奇函数.(6分) (Ⅱ)任取x2＞x1＞0，

222（x1－x2）2

则f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋x2)－(－3x1＋x1)＝3(x1－x2)＋x1x2＝(x1－x2)(3＋x1x2)． 2

因为x2＞x1＞0，所以x1－x2＜0，x1x2＞0，所以(x1－x2)(3＋x1x2)＜0，

所以f(x2)－f(x1)＜0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数.(12分)

22

19．解：将圆C化为标准方程(x＋2)＋(y－3)＝5，它是以C(－2，3)为圆心，为半径． (Ⅰ)当直线l垂直x轴时，直线l的方程为x＝－1，圆心到直线x＝－1的距离为1， |AB|＝2＝4，不合题意；

当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，圆心到直线l的距|－k－1|222

离为d，则d＝k2＋1＝）2＝2，两边平方化简得k＋4k＋1＝0，解得k＝－2＋，或者k＝－2－，故直线l的方程为(－2＋)x－y＋＝0或(－2－)x－y－＝0.(6分)

3－2

(Ⅱ)当直线l过点M(－1，2)且与CM垂直时弦长最短，此时kCM＝－2＋1＝－1，则kl＝1，故直线l的方程为x－y＋3＝0.弦长为2＝2＝2.(12分)

D1O 平面ACE

20．证明：(Ⅰ)BO1 平面ACE BO1∥平面ACE.(5分)

D1O 平面CD1ODE⊥平面CD1O

(Ⅱ)CO 平面CD1O DE 平面CDE 平面CDE⊥平面CD1O.(12分)

21．解：(Ⅰ)将圆C配方得(x＋1)＋(y－2)＝2，圆心为(－1，2)，半径r＝. ①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，

6

2

2

x

4，

由直线与圆相切得y＝(2±)x.

②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y＋a＝0， 由直线与圆相切得x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(6分)

(Ⅱ)由|PO|＝|PM|得x21＋y21＝(x22

1＋1)＋(y1－2)－2 2x1－4y1＋3＝0，

即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l， ∴直线OP的方程为2x＋y＝0.

解方程组2x2x－＋4yy＝＋03，＝0得P点坐标为(－103，3

5)．(12分)

22．解：(Ⅰ)∵f(－1)＝0，∴a－2b＋1＝0，又f(x)的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝4b2a＞－0，

4a＝0，∴b2

－(2b－1)＝0，∴b＝1，a＝1，

∴f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2

. ∴F(x)＝－（（x＋x＋1）1）2，2，x＞x＜0，

0.(6分) (Ⅱ)∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝ax2

＋1，

F(x)＝－ax2ax2＋－11，，xx＞＜00，

，

∵m·n＜0，设m＞n，则n＜0.

又m＋n＜0，－n＞m＞0，∴|m|＜|－n|，

F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝(am2＋1)－an2－1＝a(m2－n2)＞0， ∴F(m)＋F(n)不能小于零．(12分) 7