2011年《创新设计》7-3

2011年《创新设计》

7.3

空间点、直线、平面之间的位置关系

(理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理)

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1.平面的基本性质

(1)公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内. (2)公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有

这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. (3)公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

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2.空间两条直线的位置关系 (1)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. (2)定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这 两角相等. (3)异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线.

(4)异面直线a和b所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O,分别引直线a′∥a,b′∥b,则把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和 b所成的角.

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1.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( A.5部分 答案：C 2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中 点.那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( ) B.6部分 C.7部分 D.8部分

)

A.三角形C.五边形

B.四边形D.六边形

答案：D

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3.(2009·全国Ⅰ)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB,E为AA1的 中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( A. B. C. D. )

解析：如图，连接A1B,则∠A1BE即为所求，设AB=1,在△A1BE中，A1E=1,BE= cos∠A1BE= 答案：C ,A1B= . .

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4.下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，过四 个点共面的图形是________.(写出符合要求序号)

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解析：在④选项中，可证Q点所在棱与PRS平行，因此，P、Q、R、S四 点不共面.可证①中PQRS为梯形；③中可证PQRS为平行四边形；②中 如图取A1A与BC的中点分别为M、N,可证明PMQNRS为平面图形，且 PMQNRS为正六边形.

答案：①②③

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本题型是利用平面的性质证明若干元素(点或直线)共面，常有两种方法：

方法一是根据公理3或推论确定一个平面，然后再证其他元素也在这个平面内；方法二是先根据公理3或其推论确定出两个平面，然后再证明这两 个平面重合.解决此类问题的方法是将立体几何问题转化为平面几何问 题.

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【例1】 如图，已知直线a、b、c、l满足a∥b∥c且a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C, 证明四条直线a,b,c,l在同一平面内.

证明：∵a∩l=A,∴直线a与l确定一个平面，此平面设为α;又a∥b,则a

与b也确定一个平面设为β,而平面α与平面β都过直线a与直线a外一点B,因此α与β为同一平面，因此b α,同理可

证c α,因此直线a、b、

c、l在同一平面内.

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利用两平面交线的唯一性，证明诸点在两平面的交线上是证明空间诸点共线的常 用方法.证明点共线的方法从另一个角度讲也就是证明三线共点的方法. 证明线共点，基本方法是先确定两条直线的交点，再证交点在第三条直线上，也 可将直线归结为两平面的交线，交点归结为两平面的公共点，由公理2证明点在直

线上.

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【例2】 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分 别是边BC、CD上的点， (1)若F、G分别为BC、CD的中点，试证EFGH为平行四边形； (2)若 =2,试证EF、AC、HG相交于一点.

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证明：(1)如图连结AC,BD,则EF∥AC,HG∥AC,因此EF∥HG; 同理EH∥FG,则EFGH为平行四边形. (2)∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH綊 BD;又∵ =2,

∴FG綊 BD,∴EFGH为梯形，则EF,GH相交于一点O,即O∈EF, O∈GH , ∴ O∈ 平 面 ABC , O∈ 平 面 ADC , 又 面 ABC∩ 面 ADC = AC , 则 O∈AC,即EF、AC、HG相交于一点.

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变式2.(1)三个平面两两相交，则三个平面的交线可能有______________,可能将整个空间划分为____________. (2)已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交线互相平行或者相交于一 点. 答案：(1)一条或三条 若三个平面有一条交线，则三个平面将空间分

为六部分，若三个平面有三条交线可将空间分为七或八部分 (2)证明略

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与异面直线相关的问题有异面直线的判定，异面直线所成的角，异面直线的公 垂线及异面直线间的距离，这其中最重要的是异面直线所成的角.求异面直线 所成的角，一般是通过平行线首先找到它们所成的角，然后放到三角形中，通 过解三角形求之. 对于异面直线所成的角也可利用空间向量来求.

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【例3】 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中 心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角 的余弦值等于( A. B. )

C.

D.

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解析：解法一：连结AC、AC1,则O为AC中点，∴AC1∥OE,取A1D1中点M, 连结AM,MC1,由AF綊MD1知四边形AFD1M为平行四边形，∴AM∥D1F, 则∠MAC1或其补角为异面直线所成角，可求AC1=2 AM=MC1= ,在△MAC1中，cos∠MAC1= ,