练习24_平面向量的线性运算

高一数学有关题

练习24 平面向量的线性运算

A组

1．在矩形ABCD中，AB

3，BC 1，则向量(AB AD AC)的长等于（ ）

（A）2 （B）23 （C）3 （D）4 答案: D。 解析：

AB AD AC AB BC AC AC AC 2AC

2．下面给出四个命题：

① 对于实数m和向量a、b恒有：m(a b) ma mb ② 对于实数m、n和向量a，恒有(m n)a ma na ③ 若ma mb(m R)，则有a b ④ 若ma na(m,n R,a 0)，则m n

其中正确命题的个数是（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

答案：（C）

解析：根据实数与向量的积的定义及运算定律容易得出①、②、④正确，③不一定成立.

m 0时，ma mb 0

但此时也不一定有a b成立

3．若a与b的方向相反，且a b，则a+b的方向与a的方向 ；

此时a b

b． 答案：相同；=；

解析：考察向量的加法运算以及模之间的关系。

4．已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC a，CA b，AB c，

1 1111

则下列各式：①EF c b；②BE a b；③CF a b；④

22222

AD BE CF 0 ．其中正确的等式的个数为

答案：2

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解析：考察向量的加法运算。

5．已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA OB OC 0，则O是△ABC

的 。（填重心 、垂心、内心、外心之一） 答案：重心

解析：考察向量的运算与三角形的性质。

6．若AB 8,AC 5,则BC的取值范围是

答案：[3,13]。

解析：由结论||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，因为BC=|AB AC|。

7．如图，D、E、F是 ABC的边AB、BC、CA的中点， 则AF DB=

答案：BE

解析：向量可以自由平移的观点是本题的解题关键，平移的目的是便于按向量减法法则进行运算，由图可知∴AF DB AF AD DF BE

8．在 ABCD中，AB a,AD b,AN 3NC，M为BC的中点，则MN _______。（用 a、b表示）

1 1

答案： a b

44

1

解析：如图， 由AN 3NC得4AN 3AC=3(a b)，AM a b，

2

3 1 1 1 所以MN (a b) (a b) a b。

4244

9．化简：(AB CD) (AC BD)= ．

B组

答案：0

10．如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知AB=a,AD=b,试用a，b表示BC和MN．

【解法一】 连结CN，则AN

DC

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∴四边形ANCD是平行四边形．

CN AD=－b，又∵CN+NB BC=0

∴BC CN NB=b－

12

a

12

AN=－b+

14

∴MN CN CM CN a=

14

a－b

【解法二】 ∵AB BC CD DA=0 即：a+BC （－

12

a）+（－b）=0，∴BC=b－

12

a

又∵在四边形ADMN中，有AD DM MN NA=0， 即：b+

14

a+MN+（－

12

a）=0，∴MN

14

a－b．

11．已知：在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点． 求证：EF

12

(AB BC)

解析：思路1：运用向量的图形语言、向量的多边形法则，进行向量的加法、减法运算以及向量的中点坐标公式．

证法一：（如图1），∵E、F分别是AD、DC的中点， ∴EA ED 0，FB FC 0

∵AB BF FE EA 0， ∴EF AB BF EA． ① 同理 EF ED DC CF． ②

A

B

（图1）

由 ①+② 得 2EF AB DC (EA ED) (BF CF) AB DC． ∴EF

12

(AB BC)．

证法二：连结EB、EC，（如图2），则

EC ED DC，EB EA AB，

A

B

（图2）

∴EF

12

(EB EC)

12

(ED DC EA AB)

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12

(AB DC)

证法三：任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF（如图3）， ∵E、F分别是AD、DC的中点， ∴OE

12

(OA OD)，OF

12

(OB OD)． EF OF OE 1

(OB OC) 12

2

(OA OD)

A

12(OB OA) 1

2(OC OD)

12AB

12DC

12

(AB DC)

B

图3）

（