高中数学 (1.2集合间的基本关系)示范教案新人教A版必修1

来源：网络收集时间：2026-09-27

导读： 1.1.2 集合间的基本关系整体设计教学分析课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等. 值得注意的问题

1.1.2 集合间的基本关系

整体设计

教学分析

课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等.

值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用Venn图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如∈与的区别.

三维目标

1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.

2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想.

重点难点

教学重点:理解集合间包含与相等的含义.

教学难点:理解空集的含义.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.实数有相等、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之

间有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)

欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.

思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R. 类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：

(1)∈;(2);(3)∈)

推进新课

新知探究

提出问题

(1)观察下面几个例子:

①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};

②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合; ③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};

④E={2,4,6},F={6,4,2}.

你能发现两个集合间有什么关系吗？

(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？

(3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?

(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？

(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.

(6)已知AB,试用Venn图表示集合A和B的关系.

2(7)任何方程的解都能组成集合,那么x+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这

个集合吗？

(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？

(9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论? 活动：教师从以下方面引导学生:

(1)观察两个集合间元素的特点.

(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果A B,但存在x∈B,且x A,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA).

(3)实数中的“≤”类比集合中的 .

(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.

(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.

(6)分类讨论:当A B时,A

2B或A=B. (7)方程x+1=0没有实数解.

(8)空集记为 ,并规定:空集是任何集合的子集,即 A;空集是任何非空集合的真子集,即

A(A≠ ).

(9)类比子集.

讨论结果：

(1)①集合A中的元素都在集合B中;

②集合A中的元素都在集合B中;

③集合C中的元素都在集合D中;

④集合E中的元素都在集合F中.

可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.

(2)例子①中A B,但有一个元素4∈B,且4 A;而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同.

(3)若A B,且B A,则A=B.

(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.

(5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合

图1-1-2-1

(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示

. 图1-1-2-2

图1-1-2-3

(7)不能.因为方程x+1=0没有实数解. 2图1-1-2-4

(8)空集.

(9)若A B,B C,则A C;若A应用示例

思路1

1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.

(1)则下列包含关系哪些成立？

A B,B A,A C,C A.

(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.

活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则A B成立,否则A B不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点:

(1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格;

长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格.

(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.

解：(1)包含关系成立的有:B A,C A.

(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示,如图1-1-2-5所示

. B,BC,则AC.

图1-1-2-5

变式训练

课本P7练习3.

点评：本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么. 判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,得:当集合A中的元素都属于集合B时,有A B;当集合A中的元素都属于集合B,当集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含.

2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.

活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的个数分类讨论.

解：集合{a,b}的所有子集为 ,{a},{b},{a,b}.真子集为 ,{a},{b}.

变式训练

2007山东济宁一模,1

已知集合P={1,2},那么满足Q P的集合Q的个数是( )

A.4 B.3 C.2 D.1

2分析:集合P={1,2}含有2个元素,其子集有2=4个,

又集合Q P,所以集合Q有4个.

答案：A

点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个

数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏.

思考:集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？

0解：当n=0时,即空集的子集为 ,即子集的个数是1=2;

1当n=1时,即含有一个元素的集合如{a}的子集为 ,{a},即子集的个数是2=2;

当n=2时,即含有一个元素的集合如{a,b}的子集为 ,{a},{b},{a,b},即子集的个数是

24=2.

n集合A中含有n个元素,那么集合A有2个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集

n合A有(2-1)个真子集.

思路2

21.2006上海高考,理1已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m}.若B A,则实数m=_______. …… 此处隐藏：7126字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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