蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第18章 委托—代理理论)

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蒋殿春《高级微观经济学》 第18章 委托—代理理论

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1． x, 是 类的代理人的成本函数。在18.1.1节中我们说，如果 x, 1 x, 2 ，且 x x, 1 x x, 2 成立，则这两类代理人的无差异曲线只相交一次，请证明这一点。

证明：两类代理人的无差异曲线满足方程：

u1 y1 x, 1 u2 y2 x, 2

它们的差为：

u u2 u1 y2 y1 x, 1 x, 2

对函数求导得到：

d u

x x, 1 x x, 2 0 dx

从而得到 u是严格单调函数，所以最多和x轴相交一次，即最多存在一个x，使得u2 u1。

另一方面，当x 0时， x, 1 a1 0， x, 2 a2 0。此时委托人的利润函数变为v y，根据利润最大化原则，支付的工资为y1 y2 0。所以，当x 0时，两效用函数都

为0，无差异曲线相交。

2．参看图18-5中显示的两个分布密度函数：如果代理人的行动是a ，可能的产量将

落在区间 内；另一个行动a 对应的产量区间是 a, a a , a 。

的代理人处予足够大的惩罚，就能保 （1）证明：只要委托人对生产x

a , a

证代理人选择a ；

（2）是否也存在适当的惩罚机制，保证代理人选择行动a ？ 解：（1）考虑一个简单的两段支付函数：

y1x a , a y

y 2x a , a

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其中，y1和y2都是常数，y1 y2。在此支付结构下，代理人选择行动a 所获的期望效用为：

Eu a F a ,a u y1 1 F y1, a u y2 a

而选择行动a 所获的期望效用为：

Eu a u y2 a

要阻止代理人选择行动a ，只需：

u y1 1 F y1, a u y2 a u y2 a F a,a

由于F ，所以： a ,a 0

u y1 u y2

a a F a,a

由于效用函数是严格单增的，只要y2 y1 0足够大，上式便成立。

（2）与（1）相反，只要y2 y1 0，则保证代理人选择行动a 。

3．如果 1和 2两类代理人所占的比例分别是 和1 ， 值的变化会如何影响委托人的最优契约？

解：在条件 1 2条件下，由最优契约条件（18.14）和（18.15），得到：

x x1a, 1 1

1

x x1a, 2 x x1a, 1 1

a

x x2, 2 1

当 趋近于1时， x x1a, 1 趋向于1。这表明y越大，委托人向低效率代理人提供的契约也就越趋近于最优契约。同时，委托人向高效率代理人提供的契约不随 的变化而改变。

4．如果18.1节模型中包含三种不同的代理人，利用微分方法或者几何方法说明，最优激励契约中效率较低的两类代理人的产量低于帕累托有效水平，但最有效率的一类代理人生产帕累托有效产量。

解：模型18.1的假设条件下，假设 1、 2和 3三类代理人所占的比例分别是 1、 2与1 1 2，则委托人的期望利润为：

E v 1 x1 y1 2 x2 y2 1 1 2 x3 y3

设各代理人的保留收益为 0，他们面临的参与约束与自选择约束条件为：

代理人

1

参与约束

自选择约束 y1 x1, 1 y2 x2, 1

2

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y1 x1, 1 y3 x3, 1

y1 x1, 1 0（束紧）

y2 x2, 2 0

（束紧） y2 x2, 2 y1 x1, 2 y2 x2, 2 y3 x3, 2

3

y3 x3, 3 0

y3 x3, 3 y1 x1, 3

（束紧） y3 x3, 3 y2 x2, 3

在三个束紧的约束等式下，委托人的期望利润最大化问题变为：

max 1 x1 y1 2 x2 y2 1 1 2 x3 y3

st..y1 x1, 1

y2 x1, 1 x2, 2 x3, 3

y3 x1, 1 x2, 2 x1, 2 x3, 3 x2, 3

一阶必要条件是：

1 1

x x1a, 2 x x1a, 1 x x1a, 1 1 1

a

x x2, 2 1

1 1 2

2

aa

x x2, 3 x x2, 2

a

3 x3, 3 1

由于 x 0，且 1 2 3，故而有：

aa

x x1a, 2 x x1a, 1 ， x x2, 3 x x2, 2

因此，由一阶必要条件易知：

x x1a, 1 1 x x1, 1 a x x2, 2 1 x x2, 2 a 3 x3, 3 1 3 x3, 3 1

a a x2 x3由于 x 0，故有x1a x1 ，x2，x3，即在最优激励契约中低效率的两类代理

人产量低于帕累托有效水平，而效率最高的代理人生产帕累托有效水平的产量。

5．考虑一个以边际成本c生产x商品的独占厂商，市场上有两种可能的消费者。两类消费者的效用函数分别是

U1 x,q v x q，U2 x,q 2v x q

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其中q是消费者在其他所有商品上的消费，v 0，v 0。假设厂商是风险中立的，它无法识别具体消费者的特定类型。利用18.1节的模型，推导厂商的最优定价策略，确认“顶端不扭曲”原理。

解：厂商的期望利润为：

E p1 c x1 1 p2 c x2

消费者的参与约束与自选择约束条件分别为：

类型 1 2

参与约束

v x1 p1x1 0（束紧）

2v x2 p2x2 0

自选择约束

v x1 p1x1 v x2 p2x2

2v x2 p2x2 2v x1 p1x1（束紧）

假设厂商认为市场上两类消费者的比例分别为 和1 ，厂商的期望利润最大化问题为：

max v x1 cx1 1 2v x2 2v x1 v x1 cx2

一阶必要条件为：

v x1a

cca

，v x2 22 1

a

由于0 1，因此v x1a v x2 ；又因为v 0，故x1a x2a，即低端市场1上的产品

供应水平低于最优水平，而在高端市场2上，厂商的供应水平与最优水平一致。 6．政府决定干涉一个独占市场。假设这个市场上唯一的一个厂商的成本函数可能是 1x或者 2x， 1 2；独占厂商清楚自己的确切成本，但政府不知道，它猜测厂商成本是 1x的概率是 0 1 ；社会从该厂商的消费中获得的总效用是U x ，从而市场需求（反）函数是p U x 。假设政府可以强制市场价格定在某一特定水平，从而控制厂商的产量；同时，作为对厂商的补偿，政府向厂商发放补贴T 0。在这种政策下，厂商的利润是

U x x ix T

如果这个利润小于零，厂商将停产。政府的目标是使下列函数最大化：

U x ix T

推导政府的最优干涉政策。

解：政府可考虑一个两可的干预补贴方案： p1,T1 或 p2,T2 ，根据市场需求条件，这等价于 U xi ,Ti 。政府需要确定恰当的xi和Ti。

在上述政策下，企业的参与约束 …… 此处隐藏：5104字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……