2015高考理科数学热点题型专题49 两条直线的位置关系

2015高考理科数学热点题型专题

【高频考点解读】

1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．

2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

【热点题型】

题型一 两条直线的交点

例1、求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．

【提分秘籍】

1．两直线交点的求法

求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．

2．求过两直线交点的直线方程常有两种解法

(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解；

(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．

【举一反三】

过点(3,1)，且过直线y＝2x与直线x＋y＝3交点的直线方程为________．

【热点题型】

题型二 距离问题

例2、(1)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是( ) 5A.22 B．2 15C.22 D．152

(2)已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为5，求直线l1的方程．

【提分秘籍】

1．求点到直线的距离，一般先把直线方程化为一般式．

2．求两条平行线间的距离有两种思路

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(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

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C－C|(2)直接利用两条平行线间的距离公式d. A＋B

【热点题型】

题型三 对称问题

例3、已知直线l1：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(1)点A关于直线l1的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l1的对称直线l2的方程；

(3)直线l1关于点A对称的直线l3的方程．

【提分秘籍】

对称问题主要包括中心对称和轴对称

(1)中心对称

x′＝2a－x，①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 y′＝2b－y.

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．

(2)轴对称

n－b A m－a －B ＝－1，

①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 a＋mb＋nAB 22＋C＝0.

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 【举一反三】

与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )

A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0

C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0

【热点题型】

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题型四 “距离”的创新题

例4、已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为

( )

A．4 B．3

C．2 D．1

【提分秘籍】

“距离”类创新题，常见类型有：求有关长度或三角形面积的最值问题，或知长度、三角形面积情况探究点的个数以及与圆位置有关的问题，或是与导数的交汇创新．虽然问法新颖，但考查的仍是距离公式的应用．关键是将所求问题转化为熟悉的问题求解．常用的思想方法有数形结合、转化与化归及函数与方程思想．

【举一反三】

定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.

【点拨】本题利用曲线C到直线l距离的定义，考查点到直线的距离，并巧妙的与导数知识交汇，解决此类问题

(1)要全面准确地掌握各知识点的基础知识和基本方法，重视知识间的联系．

(2)要充分理解新定义的具体含义，剥去新定义的外衣，将曲线到直线的距离转化为点到直线的距离，化陌生为熟悉．

【高考风向标】

1．（2014·全国卷）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点

5为Q，且|QF|＝4PQ|.

(1)求C的方程；

(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．

2．（2013·湖南卷）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图1－1所示)，若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )

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图1－1

A．2 B．1

84C.3 D.33．（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )

A．(0，1) B. 1－

C. 1－ 21 2，2

21 11 D.3，2 23

4．（2013·重庆卷）已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )

A．5 2－4 B. 17－1

C．6－2 2 D.17

【随堂巩固】

1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( ) 13322A. C. 2222

2．若直线l与直线y＝1和x－y－7＝0分别交于点M，N，且线段MN的中点为P(1，－1)，则直线l的斜率等于( )

2A. 3 2B．－ 333C. D．－ 22

3．直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程为( )

A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0

C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－5＝0[来源:学科网]

4．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为( )

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7292112910A. B. C. D.22210

5．若直线l1：y＝kx＋k＋2与l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是( )

2A．k> 3B．k<2

22C．－<k<2 D．k<－或k>2[来源:Z_xx_http://www.77cn.com.cn] 33

6．在直角坐标系中，A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )

A．210

C．33

7．经过两条直线2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0的交点，且与直线x－3y－1＝0平行的直线的一般式方程为________．

8．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．

9．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.

10．过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l的方程．

11．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，

(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；

(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．

B．6 D．25