河北省2011年高考数学第一轮总复习知识点检测课件：10.7双曲线

第七节基础梳理

双曲线

1. 双曲线的定义 (1)平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件： ①到两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数2a; ②2a小于 F1F2 (2)上述双曲线的焦点是F1、F2 ,焦距是 F1F2 . 2. 双曲线的标准方程和几何性质 标准 方程x2 y2 2 = 1( a > 0, b > 0 ) 2 a by 2 x2 = 1( a > 0, b > 0 ) a 2 b2

图形

范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 实虚轴

x ≥ a或x ≤ a, y ∈ R

x ∈ R, y ≤ a或y ≥ a

对称轴：坐标轴 对称中心：原点A1 ( a, 0 ) , A2 ( a, 0 )

对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点坐标A1 ( 0, a ) , A2 ( 0, a )

顶点坐标

性 质

b y=± x a

y=±

a x b

e=

2 2 c , e ∈ (1, ∞ ) 其中 c = a + b a

线段 A1 A2 叫做双曲线的实轴,它的长| A1 A2|=2a; 线段 B1 B2 叫做双曲线的虚轴,它的长| B1 B2|=2b;a叫做 双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长

a、b、c 的关系

c 2 = a 2 + b 2 ( c > a > 0, c > b > 0 )

3. 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为 x 2 y 2 = λ (λ≠0),离心率e= 2 ,渐近线方程为y=±x.

典例分析题型一 双曲线的定义及标准方程 【例1】已知动圆M与圆C1 : ( x + 4 ) + y 2 = 2外切，与圆C2 : ( x 4 ) + y 2 = 2 内22

切，求动圆圆心M的轨迹方程. 分析 设动圆M的半径为r,则 MC1 = r + r1 , MC2 = r r2 ,则MC1 MC2 = r1 + r2 =定值，故可用双曲线定义求解轨迹方程.

解 如图，设动圆M的半径为r, 则由已知得 MC1 = r + 2 ,MC2 = r 2 ∴ MC1 MC2 = 2 2 . 又 C1(-4,0), C2 (4,0), ∴ C1C2 = 8,∴ 2 2 < C1C2 . 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以 C1(-4,0), C2(4,0)为焦点的双曲线的右 支. ∵a= 2 ,c=4,∴ b 2 = c 2 a 2 = 14 , ∴点M的轨迹方程是x2 y 2 =1 x ≥ 2 2 14

(

)

学后反思 (1)求动点的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹 的曲线类型，再用定义法或者参数法来求轨迹方程. (2)在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”, 弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支.

举一反三1. 如图，已知圆A的方程为( x + 3)2 + y 2 = 4 ,定点C(3,0),求过定点C且和圆A 外切的动圆的圆心P的轨迹方程. 解析 依题意得|PA|-|PC|=2.又|PA|>|PC|,且|AC|=6 >2.由双曲线的定义，知点P的轨迹是以A,C为焦点的双 y2 2 = 1(x≥1). 曲线的右支，故点P的轨迹方程为 x 8 题型二 双曲线的几何性质x2 y2 【例2】 F1 , F2 为双曲线 2 2 = 1 (a>0,b>0)的焦点，过F2 作垂直于x a b

轴的直线交双曲线于点P且∠ PF1 F2 =30°,求双曲线的渐近线方程.

分析 由∠ PF1 F2 =30°,结合双曲线的定义分析PF1 , PF2 , F1 F2 三边关系，求 出a、b间的关系，进而得出渐近线方程. 解 设 PF2 = m

, 所以 PF1 = 2m,F1 F2 = 2c = 3m, PF1 PF2 = 2a = m, c a 2 + b2 b2 2 ∴ e = = 3,∴ e = 3 = = 1+ 2 , 2 a a a b2 b ∴ 2 = 2,∴ = 2, a a

x 2 y 2 的渐近线方程为y=± ∴双曲线 2 2 = 1 2 x. a b

学后反思 充分利用焦点三角形△ PF1 F2 中三边关系和双曲线渐近线的定 义,能使问题迅速得到解决.

举一反三x2 y2 2. (2009·宁夏、海南)双曲线 4 12 = 1 的焦点到渐近线的距离为( )

A. 23

B. 22 2

C.3

D. 1

x y 解析: 双曲线 4 12 = 1 的焦点坐标为(4,0)、(-4,0),渐近线方程

为y=± 3 x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，4 3+0 3 +1

d=

=2 3

答案:A

题型三 直线与双曲线 【例3】(12分)求经过点 2 ,2 且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点 的直线方程. 分析 将直线方程设出，代入双曲线方程，消y可得关于x的方程，考虑到直 线与双曲线只有一个公共点,因此，必须分所得方程是一次还是二次方程来 讨论求解. 1 1 ,2 解 若直线的斜率存在，设为k, 2 2 1 则所求直线方程为y-2=kx- ,……………………………………..1′ 2 1 由y-2=k(x- ),① 2 2-y2=1,②……………………………………………………… 2′ 4x 将①代入②整理,得 (4-k2)x2-2k(2- 1 k)x- ( 1 k2-2k+5)=0.③…………………...4′ 2 4 (1)当直线与双曲线相切时，仅有一个公共点， 所以有 =0,4-k2≠0,即 1 1 1 [-2k(2- 2 k)]2-4(4-k22)-[-( 4 k2-2k+5)]=0且k≠±2,解得k= 5. 2 5 3 故所求的直线方程为y= x+ …………………………………… 7′ 2 4 (2)当k=2时，方程③变为一次方程，且有唯一解,因而直线①和双 曲线仅有一个公共点，故得到直线方程为y=2x+1………………8′ (3)当k=-2时，同理可得直线方程为y=-2x+3,…………………….9′ 1

(4)当斜率不存在时，因为点 2 ,2 在直线x= 2 上，且x= 2 与双曲线只有一 1 个公共点，故所求直线方程为x= 2 ……………………………………...11′ 5 3 综上所述，符合题意的直线有四条，直线方程分别为y= 2x+ 4 ,y=2x+1,y= 1 -2x+3和x= 2 ……………………………………………………..………….12 1

1

1

学后反思 双曲线与直线的问题，往往需要设出直线方程，与双曲线方程联立， 转化为方程的根与系数间的关系问题，因此，应注意两个问题： (1)所设直线的斜率是否存在； (2)消元后方程是否一定是二次方程.

举一反三3. 已知双曲线C:x2 y2 2 = 1 (a>0,b>0),过右焦点F作双曲线C在第 2 a b

一、三象限的渐近线的垂线l,l与双曲线C的左、右两支分别相交于 点D,E,求双曲线C的离心率e的取值范围.

a l : y = ( x c) 解析： 解析：由已知得 b

,

a y = ( x c) a 4 2 2a 4

c a 4c 2 2 b 联立得 2 (b b 2 ) x + b 2 x ( b 2 + a 2b 2 ) = 0. 2 x y =1 a2 b2

设D(x1,y1),E(x2,y2),a 4c 2 ( 2 + a 2b 2 ) a 4c 2 + a 2b 4 b = . 则 x1 x2 = 4 4 4 a a b b2 2 b

∵D,E在双曲线左、右两支上， ∴x1x2<0,∴a4-b4<0,即a2<b2, ∴a2<c2-a2,即2a2<c2,∴e2>2,即e> 2 .

易错警示2 2 【例1】双曲线 2x y = k 的焦距为6,求k的值. x2 y2 = 1, 错解 方程可化为 k k 22 ∴ c = + k = k ,∴ 2 ×

k 2

3 2

6k = 6 ,即k=6. 2

错解分析 误认为k>0,忘记讨论k的符号. x2 y2 = 1, 正解 当k>0时，方程化为 k k 2 ∴c 2 = + k = k ,∴ 2 ×k 2 3 2 6k = 6 ,得k=6. 2

y2 x2 3 = 1, c 2 = k , 当k<0时，方程化为 k k 2 2

∴ 2 × 6 × k = 6 ,解得k=-6.2

综上，k=-6或6.

考点演练x2 y 2 = 1 的两个焦点，点P在双曲线上且满足 10 设F1 和 F2 为双曲线 4 ∠F1 PF2 =60°,则△ F1 PF2的面积是——.

解析 在△ F1 PF2 中，由余弦定理得F1 F2 = PF1 + PF2 2 PF1 PF2 cos 600 ,2 2 2

∴ F1 F2 = ( PF1 PF22 2

)

2

+ PF1 PF2 .

又 F1 F2 = 20, PF1 PF2 = 4,∴ PF1 PF2 = 4, ∴ S F1PF2 = 1 PF1 PF2 sin 600 = 3. 2

答案

3

2 2 4 11. 已知双曲线的渐近线方程为y=± x,并且焦点 …… 此处隐藏：3044字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……