5 刚体力学基础 动量矩

刚体力学基础本章内容：1 刚体和刚体的基本运动 2 力矩

动量矩

刚体绕定轴转动微分方程 动能定理

3 绕定轴转动刚体的动能 4 动量矩和动量矩守恒定律

1 刚体和刚体的基本运动1.1 刚体(rigid body)的概念 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 1.2 刚体的平动和定轴转动 1. 刚体的平动(translation of a rigid body) 刚体运动时，若在刚体内A A

A

B

所作的任一条直线都始终 保持和自身平行B

B

平动的特点:

rB rA AB rA rB vA vB

z M rB B B 1 AA1 B2

B3

Bn

A3

rAO x

A2

An

a A aB

y

刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结为质点运动

2. 刚体绕定轴的转动(rotation of a rigid body around a fix axis) 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 转轴固定不动 — 定轴转动 描述刚体绕定轴转动的角量 I 角坐标 角速度 角加速度 f (t ) (运动学方程) d dtd dt d 2

_____

刚体转动

z

P

f ' (t )

dt

2

f " (t )

II

当 c

0 t 1 2 0 0 t t 2 2 2 0 2 ( 0 )

与质点的匀加速直 线运动公式相似

绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度 任意一点都绕同一轴作圆周运动

z ω, v O刚体

, 且 , 都相同v rM an rM a dv dt2

rM M θ

rM

2 力矩

刚体绕定轴转动微分方程质点获得加速度 刚体获得角加速度z F//

2.1 力矩(torque) 力 改变质点的运动状态 力矩

改变刚体的转动状态

1. 力 F 对z 轴的力矩(力F 在垂直于轴的平面内)

F F

M z ( F ) Fr sin

Fh Fτ r(力不在垂直于轴的平面内)

r h

A

Fn

F

M z (F ) F r sin F h Fτ r

2.力对点的力矩 MO r F

Mo

F

大小 M O rF sin

O .

r

F//

指向由右螺旋法则确定z

力对定轴力矩的矢量形式 M Z r F (力对轴的力矩只有两个指向)

F

r

A

F

2.2 刚体绕定轴转动微分方程 第 k个质元 切线方向 Fk f k mk ak

rkfk

Fk

Fk f k mk ak Fk rk f k rk mk ak rk mk rk rk f k r k ( mk rk ) 2

在上式两边同乘以 rk 对所有质元求和

F rk

k

内力矩之和为0

转动惯量 J

刚体绕定轴转动微分方程(刚体的转动定律) M J J

d dt

与牛顿第二定律比较： M F , J m, a

2.3 转

动惯量( rotational inertia, moment of inertia) 定义J mk rkk 2

质量不连续分布 质量连续分布

r

J r dm2 V

确定转动惯量的三个要素:(1)总质量

(2)质量分布 (3)转轴的位置

J 与刚体的总质量有关 例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 z L LJ x dx x2 0 0 2

M

dx ML L 3

1

2

M O

L

J铁 J木

dx

x

J 与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量J R dm 2 0 L 2 πR 0

dl m R O mR2

R dl23

R 2

2 πR

dl 2 πR

m 2 πR

0

例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dm dsm

R dr r O

m

m πR2

2 πrdr 2m R2

2mr R2

dr

J r dm 2 0

R

r dr 3

m 2

R

2

0

J 与转轴的位置有关 z M OL

z M x L

Ldx

OJ L/2 2

dx1 12 ML2

x

J x dx ML 0 32

1

2

L / 2

x dx

平行轴定理(parallel axis theorem)J z' J z ML2

z' L

z M C

J z' 刚体绕任意轴的转动惯量 J z 刚体绕通过质心的轴

L 两轴间垂直距离

2.4 转动定律的应用举例 例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N

的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg· 2,飞轮与转轴间的摩擦 m 不计， (见图)求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，

试计算飞轮的角加速度 解 (1) Fr J (2) mg T maTr J

r2

O

Fr J

98 0.2 0.5 mgr J mr2

39.2 rad/s

T F

两者区别

T

a r

98 0.2 0.5 10 0.22

21.8 rad/s

2

mg

例 一定滑轮的质量为 m ,半径为 r ,不能伸长的轻绳两边分别 系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动。(设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零)

求 滑轮转动角速度随时间变化的规律。

解 以m1 , m2 , m 为研究对象, 受力分析 物体 m1: m1 g T1 m1a1物体 m2: T2 m2 g m2 a2 滑轮 m: T1r T2 r J mr 2

m rT2 T2 T1 T1

1

m2m2 g

m1m1 g

2

a1 a2 a r

m1 m2 g1 m1 m2 m r 2

0 t

m1 m2 gt1 m1 m2 m r 2

3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理3.1 绕定轴转动刚体的动能(rotational kinetic energy of a rigid body)Δm1 , Δm2 , , Δmk , , ΔmN r1 , r2 , , rk , , rN v1 ,v 2 , ,v k , ,v N Δmk 的动能为Ek 1 2 Δmkv k 2

z

rk vk

O1 2 Δmk rk 2 2

P

Δmk

刚体的总动能E Ek 1 2 Δmk rk 2 2

1 2

Δm r 2 k k

2

1 2

J

2

结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其 角速度平方乘积的一半

3.2

力矩的功(work done by torque) 力的累积过程——力矩的空间累积效应

根据功的定义 F rd Md

dA F dr Fcos ds

O

d

r ' dr r

F

.

(力矩做功的微分形式)

P

对一有限过程A

21

Md

若M=C

A M ( 2 1 )

讨论

(1) 合力矩的功A Md ( M i )d M i d Ai 1 1i i

2

2

2

1

i

(2) 力矩的功就是力的功。 (3) 内力矩作功之和为零。 3.3 转动动能定理(rotational kinetic energy theorem) —— 合力矩功的效果dA Md ( J 21

d

对于一有限过程

)d J d d( J ) dEk dt 22

1

1 1 2 2 2 A dA d( J ) J 2 J 1 E k 2 2 21

2

1

绕定轴转动刚体在任一过程中转动动能的增量，等于 …… 此处隐藏：1330字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……