新课标高一数学专项练习函数的奇偶性与周期性解析[编辑6页]

高一数学专项练习函数的奇偶性与周期性解析

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝( )

A．13 B．2

13 2 2 13

解析：由f(x)·f(x＋2)＝13，知f(x＋2)·f(x＋4)＝13，所以f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期函数，周期为4.

1313所以f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3). f(1)2

答案：C

2．(2010·郑州)定义在R上的函数f(x)满足：对于任意α，β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2010，则下列说法正确的是( )

A．f(x)－1是奇函数

B．f(x)＋1是奇函数

C．f(x)－2010是奇函数

D．f(x)＋2010是奇函数

解析：依题意，取α＝β＝0，得f(0)＝－2010；取α＝x，β＝－x，得f(0)－f(x)－f(－x)＝2010，f(－x)＋2010＝－[f(x)－f(0)]＝－[f(x)＋2010]，因此函数f(x)＋2010是奇函数，选D.

答案：D

3．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log1－x)，则函数f(x)在(1,2)

2

上( )

A．是增函数，且f(x)<0

B．是增函数，且f(x)>0

C．是减函数，且f(x)<0

D．是减函数，且f(x)>0

解析：由题意得当x∈(1,2)时，0<2－x<1,0<x－1<1，f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝log1－(2－x)]＝log1(x－

22

1)>0，则可知当x∈(1,2)时，f(x)是减函数，选D.

答案：D

4．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x)＝f

A．－3 B．3

C．－8 D．8

解析：因为f(x)是连续的偶函数，且x>0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x)＝f x＋3的所有x之和为( ) x＋4 x＋3 ，只有两 x＋4

x＋3x＋3种情况：①x＝；②x＋0. x＋4x＋4

由①知x2＋3x－3＝0，故两根之和为x1＋x2＝－3.

由②知x2＋5x＋3＝0，故其两根之和为x3＋x4＝－5.

因此满足条件的所有x之和为－8.

答案：C

5．已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么函数f(x)在区间[－7，－3]上( )

A．是增函数且最小值为－5

B．是增函数且最大值为－5

C．是减函数且最小值为－5

D．是减函数且最大值为－5

解析：∵f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．

∵f(x)在[3,7]上是增函数，

∴f(x)在[－7，－3]上也是增函数．

∵f(x)在[3,7]上的最小值为5，

∴由图可知函数f(x)在[－7，－3]上有最大值－5.

答案：B

评析：本题既涉及到函数的奇偶性，又涉及到函数的单调性，还涉及到函数的最值，是一道综合性较强的题目，由于所给的函数没有具体的解析式，因此我们画出函数f(x)在区间[3,7]上的示意图，由图形易得结论．

6．(2010·新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )

A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}

C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}

解析：当x<0时，－x>0，

∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x3－8，

又f(x)是偶函数，

∴f(x)＝f(－x)＝－x3－8，

x3－8，x≥0 ∴f(x)＝ 3. －x－8，x<0

3 (x－2)－8，x≥2∴f(x－2)＝ ， 3 －(x－2)－8，x<2

x<2 x≥2 或， 33－(x－2)－8>0 (x－2)－8>0

解得x>4或x<0.故选B.

答案：B

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．(2010·江苏)设函数f(x)＝x(ex＋aex)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________． －

解析：设g(x)＝x，h(x)＝ex＋aex，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋aex为－－

奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.

答案：－1

8．已知函数f(x＋1)是奇函数，f(x－1)是偶函数，且f(0)＝2，则f(4)＝________.

解析：依题意有f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(4)＝f(－(－3)＋1)＝－f(－2)＝－f(－1－1)＝－f(0)＝－2.

答案：－2

9．(2010·湖北八校)设函数f(x)的定义域、值域分别为A、B，且A∩B是单元集，下列命题

①若A∩B＝{a}，则f(a)＝a；

②若B不是单元集，则满足f[f(x)]＝f(x)的x值可能不存在；

③若f(x)具有奇偶性，则f(x)可能为偶函数；

④若f(x)不是常数函数，则f(x)不可能为周期函数．

其中，正确命题的序号为________．

解析：如f(x)＝x＋1，A＝[－1,0]，B＝[0,1]满足A∩B＝{0}，但f(0)≠0，且满足f[f(x)]＝f(x)的x可能不存在，①错，②正确；如，f(x)＝1，A＝R，B＝{1}，则f(x)＝1，A＝R是偶函数，③正确；如f(x)＝x－2k＋1，A＝[2k－1,2k]，B＝[0,1]，k∈Z，f(x)是周期函数，但不是常数函数，所以④错误．

答案：②③

10．对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________．

①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；

②若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；

③若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；

④函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．

解析：f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位而得到，又f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称，故①正确；

由f(x＋1)＝f(x－1)可知f(x)的周期为2，无法判断其对称轴，故②错误；

f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)关于y轴对称，故f(x)为偶函数，③正确；

y＝f(1＋x)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移一个单位后得到，y＝f(1－x)是由y＝f(x)的图象关于y轴

对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y轴对称，故④错误．

答案：①③

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

－2x＋b11．已知定义域为R的函数f(x)＋ 2＋a

(1)求a、b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

分析：(1)由f(0)＝0可求得b，再由特殊值或奇函数定义求得a；(2)先分析函数f(x)的单调性，根据单调性去掉函数符号f，然后用判别式解决恒成立问题．

解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(0)＝0，

即b－10 b＝1， a＋2

1－2x

所以f(x)＝＋， a＋2又由f(1)＝－f(－1)

1121－2知a＝2. a＋4a＋1

1－2x

(2)由(1)知f(x)＝＋ 2＋211 22＋1

易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．

又因f(x)是奇函数，从而不等式：

f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于

f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，

因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2，

即对t∈R有：

13t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0 k<. 3

12．设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＜0，求证：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

证明：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f( …… 此处隐藏：2459字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……