函数的单调性与导数习题课

函数的单调性与导数 (习题课)

1.在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要 确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能 在定义域内通过讨论导数的符号，来判断函数 的单调区间. 2 .在对函数划分单调区间时，除了必须确定 使导数等于零的点外，还要注意定义区间内的 不连续点或不可导点. 3 .注意在某一区间内 f′(x)>0( 或 f′(x)<0) 是函数 f(x)在该区间上为增 (或减)函数的充分条件.如 f(x) = x3 是 R 上的可导函数，也是 R 上的单调递 增函数，但当x=0时，f′(x)=0.

4.由导数的几何意义可知，函数f(x)在x0的 导数f′(x0)即f(x)的图象在点(x0,f(x0))的切 线的斜率，在x=x0处f′(x0)>0,则切线的 斜率k=f′(x0)>0,若在区间(a,b)内每一 点(x0,f(x0))都有f′(x0)>0,则曲线在该区 间内是上升的.反之若在区间(a,b)内， f′(x)<0,则曲线在该区间内是下降的. 5.如果函数f(x)在点x0附近，当x<x0时f′(x) <0,当x>x0时f′(x)>0,则点(x0,f(x0))我们 称作临界点.

6.我们注意到由f(x)=2x、g(x)=3x、得f′(x) =2、g′(x)=3有f′(x)<g′(x),画图可见，g(x) 与f(x)都是增函数，但g(x)比f(x)增长的快得 多.自己再观察几个函数导数值的大小关系， 你会发现，导数绝对值的大小反映了函数在 某个区间上或某点附近变化的快慢程度，导 数绝对值越大，函数增长(f′(x)>0)或减少(f′(x) <0)的越快.

1.函数y=f(x)在区间(a,b)内的单调性与导数的关系 如 果 f ′ (x) > 0 , 那 么 函 数 y = f(x) 在 这 个 区 间 内 单调递增 ；如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个 单调递减 区间内 .如果f′(x)=0,那么函数y=f(x)在这 常数函数 个区间内为 . 2.求函数单调区间的步骤 (1)确定f(x)的定义域； (2)求导数f′(x); (3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的范围.当f′(x)>0 增函数 时，f(x)在相应区间上是 ；当 f ′( x ) < 0 时 ， f ( x ) 在相应区间上是 . 减函数

[例1] 判断y=ax3-1(a∈R)在(-∞,+∞)上 的单调性.[解析] ∵y′=3ax2,又x2≥0. (1)当a>0时，y′≥0,函数在R上单调递增； (2)当a<0时，y′≤0,函数在R上单调递减； (3)当a=0时，y′=0,函数在R上不具备单调性. [点评] 判断函数单调性的方法有两种： (1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取 x1,x2,且 x1<x2,通过判断f(x1)-f(x2)的符号确定函数的单调性； (2)利用导数判断可导函数f(x)在(a,b)内的单调性，步骤 是：①求 f′(x) ;②确定 f′(x) 在 (a , b) 内的符号；③得出 结论.

3 已知函数 f(x)=ax -3x +1-a,讨论函数 f(x)的单调性. 2 3 2

[解析] 由题设知 a≠0,f′(x)=3ax2-6x=3ax x-a .

2 令 f

′(x)=0,得 x1=0,x2=a. (1)当 a>0 时，若 x∈(-∞,0),则 f′(x)>0, 所以 f(x)在区间(-∞,0)上是增函数； 2 若 x∈ 0,a ,则 f′(x)<0, 2 所以 f(x)在区间 0,a 上是减函数. 2 若 x∈ a,+∞ ,则 f′(x)>0, 2 所以 f(x)在区间 a,+∞ 上是增函数. 2 (2)当 a<0 时，若 x∈ -∞,a ,则 f′(x)<0,

所以 若

2 f(x)在区间 -∞,a 上是减函数.

2 x∈ a,0 ,则

f′(x)>0,

所以

2 f(x)在区间 a,0 上是增函数.

若 x∈(0,+∞),则 f′(x)<0, 所以 f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.

1 令 f′(x)>0,则 2(x+ b)(x- b)>0 x ∴x> b,或 x<- b. ∴函数的单调递增区间为(-∞,- b)和( b,+∞). 1 令 f′(x)<0,则 2(x+ b)(x- b)<0 x ∴- b<x< b,且 x≠0. ∴函数的单调递减区间为(- b,0)和(0, b).

求函数的单调区间： b f(x)=x+x(b>0) 解：函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) b b 1 2 f′(x)= x+x ′=1- 2= 2(x -b) x x

[例 2]

2x b 例3.已知函数f ( x) ,求导函数f ( x),并确定f ( x)的单调区间. 2 ( x 1)2( x 1) 2 (2 x b) 2( x 1) 2 x 2b 2 2[ x (b 1)] 解：f ( x) 4 3 ( x 1) ( x 1) ( x 1)3 令f ( x) 0,得x b 1.当b 1 1,即b 2时，

f ( x)的变化情况如下表：

当b 2时，函数f ( x)递减区间为( ,b 1),, (1 ) 函数f ( x)递增区间为(b 11) , .

2x b 例3.已知函数f ( x) ,求导函数f ( x),并确定f ( x)的单调区间. 2 ( x 1)

当b 1 1,即b 2时，f ( x)的变化情况如下表：

当b 2时，函数f ( x)单调递减区间( ,, 1) (b 1, ) 函数f ( x)单调递增区间(1,b 1)

2 当b 1 1,即b 2时，f ( x) , x 1 函数f ( x)单调递减区间( ,,, 1) (1 )

[点评] 求函数单调区间时需注意： 1.步骤：法一：

法二：

2 .含有参数的函数求单调区间时注意正确运 用分类讨论思想. 3 .如果一个函数具有相同单调性的单调区间 不止一个，那么这些单调区间不能用“∪” 连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开. 4.导数法求得的单调区间一般用开区间表示.

由单调性求参数范围时的注意事项： 若函数f(x)可导，其导数与函数的单调性的关系如下： 以增函数为例来说明： ①f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定. 即f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件. ②f′(x)≠0时，f′(x)>0是f(x)为增函数的充分必要条件. ③f(x)为增函数，一定可以推出f′(x)≥0,但反

之不一 定， 即f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件.

已知单调性求参数时，特别注意“=”的处理.

例1:求参数的范围 若函数f(x) ax 3 - x 2 x - 5在(- ,+ )上单调递增， 求a的取值范围

解：f ( x ) ax3 - x 2 x - 5在(- ,+ )上单调递增, f '( x ) 3ax 2 - 2 x 1 0在(- ,+ )上恒成立。

a 0 4 12a 0 1 a 3

1 例2:已知函数( f x) 2ax 2 ,x (0,1],若( f x)在 x x (0,1]上是增函数，求a的取值范围. 2 解：f '(x) 2a 3 x ∵函数在(0,1]上单调递增 f '(x) 0, 1 即a - 3 在x (0, 1]上恒成立 x3 ( g'(x) 4 >0在(0, 1]上恒成立) x a -1 g(x)max g(1)=-1

1 而g(x) 3 在(0, 1]上单调递增， x

所以a的范围是[-1,+ )