数学教师招聘考试专业知识

数学教师招聘考试 专业知识复习

一、复习要求

1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义； 2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；

3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；

4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系； 5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

5、充分条件与必要条件

（1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；

（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则当A B时，p是q的充分条件。B A时，p是q的充分条件。A=B时，p是q的充要条件；

（3）当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。

二、学习指导

1、集合的概念：

（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性； （2）集合的分类：

①按元素个数分：有限集，无限集；

②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线； （3）集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3， }；②描述法。

2、两类关系：

（1）元素与集合的关系，用 或 表示；

（2）集合与集合的关系，用 ， ，=表示，当A B时，称A是B的子集；当A B时，称

2

2

6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。

7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。

三、典型例题

例1、已知集合M={y|y=x+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。

解题思路分析：

在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}

∴ M∩N=M={y|y≥1}

说明：实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x，y）|y=x+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。

例2、已知集合A={x|x-3x+2=0}，B+{x|x-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。 解题思路分析：

化简条件得A={1，2}，A∩B=B B A

根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2} 当B=φ时，△=m-8<0 ∴ 22 m 22

2

2

2

2

2

2

2

A是B的真子集。

3、集合运算

（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且x A｝，集合U表示全集；

（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）， CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。 4、命题：

（1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题； （2）复合命题的形式：p且q，p或q，非p；

（3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

（3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q

0

当B={1}或{2}时， ，m无解

1 m 2 0或4 2m 2 0 1 2 m

当B={1，2}时，

1 2 2

充分性：设a，b满足17a+4b=11 ∴ b

11 17a

4

代入 方程：ax y 整理得：(y

∴ m=3

综上所述，m=3或 22 m 2

说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。

例3、用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求 证x、y中至少有一个大于1。 解题思路分析：

假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾 ∴ 假设不成立

∴ x、y中至少有一个大于1

说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。

例4、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。

解题思路分析：

利用“ ”、“ ”符号分析各命题之间的关系 D C B A

∴ D A，D是A的充分不必要条件

说明：符号“ ”、“ ”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。 例5、求直线 ：ax-y+b=0经过两直线 1：2x-2y-3=0和 2：3x-5y+1=0交点的充要条件。 解题思路分析：

从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。 2x 2y 3 01711

由 得 1， 2交点P（,）

44 3x 5y 1 0

11 17a

0 4

1117

) a(x ) 0 44

11171711

0,x 0的交点（,） 4444

此方程表明，直线 恒过两直线y 而此点为 1与 2的交点 ∴ 充分性得证 ∴ 综上所述，命题为真

说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“ ”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。

四、同步练习

（一） 选择题

1、设M={x|x+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是

A、{a}=M B、M {a} C、{a} M D、M {a}

2、已知全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，则a的取值范围是 A、 [0，2] B、（-2，2） C、（0，2] D、（0，2）

3、已知集合M={x|x=a-3a+2，a∈R}，N、{x|x=b-b，b∈R}，则M，N的关系是

A、 M N B、M N C、M=N D、不确定 4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是

A、11 B、10 C、16 D、15 5、集合M={1，2，3，4，5}的子集是

A、15 B、16 C、31 D、32 6、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是 A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真

C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真 7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

8、集合A={x|x=3 …… 此处隐藏：21013字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……