《数值分析》李庆杨,第五版第1章课件

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第1章 数值分析与科学计算引论1.1 数值分析的对象、作用与特点

1.2 数值计算的误差1.3 误差定性分析与避免误差危害

1.4 数值计算中算法设计的技术1.5 数学软件(略)1

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1.1

数值分析研究对象与特点

数值分析的定义： 数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，主

要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现. 数值分析的主要内容： 本课程主要内容包括插值与数据逼近、数值微分与数 值积分、线性方程组的数值求解、非线性方程与方程组求 解、特征值计算、常微分方程数值解等.2

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虽然数值分析也是以数学问题为研究对象，但它不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧 密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论. 数值分析是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理 论体系的课程.

数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点， 又有应用数学的广泛性与实际试验的高度技术性的特点， 是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.3

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数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，

对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析.

三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现.4

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四、要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的.

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1.21.2.1

数值计算的误差

误差来源与分类

用计算机解决科学计算问题的过程如下：首先要建立数学模型， 它是对被描述的实际问题进行抽象、 简化而得到的，因而是近似的. 数学模型与实际问题之间出现 的误差称为模型误差.6

实际问题

数学模型

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在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度、长度、 电压等等，这些参量显然也包含误差. 这种由观测产生的误差称为 数学模型 实际问题

观测误差.以上两种误差不在“数值分析”的讨论范围. 数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差. 当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求 它的近似解.7

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实际问题

数学模型

数值计算方法

上机计算求出结果

近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.8

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例如，用泰勒(Taylor)多项式f (0) f (0) 2 f ( n ) (0) n Pn ( x) f (0) x x x 1 ! 2! n!

近似代替可微函数 f (x) , 则数值方法的截断误差是f ( n ) ( ) n 1 Rn ( x)

f ( x) Pn ( x) x , (n 1)!

在0与x之间.有了计算公式后，在用计算机做数值计算时，还要受

计算机字长的限制，原始数据在计算机上表示会产生误差，计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差.9

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例如，用 3.14159 近似代替 π ,产生的误差R π 3.14159 0.0000026

就是舍入误差. 此外由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数 产生的初始误差对数值计算也将造成影响. 分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差.

研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差估计问题. 这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断 误差将结合具体算法讨论.10

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1.2.2

误差与有效数字

定义1 设 x为准确值， x * 为 x 的一个近似值，称e* x * x

为近似值的绝对误差， 简称误差. 通常准确值 x是未知的，因此误差 e *也是未知的. 若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个

上界，即e * x * x *

则 * 叫做近似值的误差限， 它总是正数.11

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例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x ,读出和该长 度接近的刻度 x * x * x的近似值，它的误差限是 0.5mm , 是 ， 于是x * x 0.5mm.

如读出的长度为 765mm 则有 765 x 0.5 . , 虽然从这个不等式不能知道准确的 x 是多少，但可知764.5 x 765.5,

结果说明 x 在区间 [764.5, 765.5]内.12

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对于一般情形 x * x *,即x * * x x * *,

也可以表示为x x * *.

需要注意的是误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏.

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例如，有两个量 x 10 1 y 1000 5, 则 ，x* 10,* x 1;

y* 1000,

* 5. y

* 虽然 * 比 x 大 4 倍， 但 y

* / y* 5 / 1000 0.5% y比* x / x* 1 / 10 10%

要小得多，这说明 y * 近似 y 的程度比 x * 近似 x的程度好. 所以除考虑误差的大小外，还应考虑准确值 x本身的大 小.14

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把近似值的误差 e *与准确值 x 的比值e * x * x x x* 称为近似值 x *的相对误差，记作 er .

通常取 实际计算中，由于真值 x总是未知的，e* x * x e x* x** r * 作为 x *的相对误差， 条件是 er

e* 较小， 此时利用 x*15

e* x * x, 知

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e * e * e * ( x * x) x x* x* x(e*)2 x * ( x * e*) (e * / x*) 2 1 (e * / x*)* 是 er 的平方项级，故可忽略不计.

相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限， 记作 , 即* r* r

*x*

.16