人大版线性代数课后习题答案

第1章 矩 阵 习 题 一

(B)

1、证明：矩阵A与所有n阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A为n阶对角矩阵. 证明：先证明必要性。若矩阵A为n阶对角矩阵. 即 令n阶对角矩阵为：

a1 0A=

0

b1 0

任何对角矩阵B设为

0 b1a1 0

而BA=

0

0b2a2

0

00a2 00b2 0

0 0

, an

0 a1b1

0 0

，则AB= 0bn

0a2b2

0

0

， anbn 0

0

，所以矩阵A与所有n阶对角矩阵可交换。 bnan

b12b22 bn2

b1n

b2n

， bnn

b11

b21

再证充分性，设 A=

b n1

与B可交换，则由AB=BA，得：

a1b11

a1b21 ab 1n1

a2b12a2b22

a2bn2

anb1n a1b11

anb2n a2b21

=

anbnn anbn1

a1b12a2b22

anbn2

a1b1n

a2b2n

，

anbnn

比较对应元素，得

(ai aj)bij 0，(i j)。 又ai aj，(i j)，所以

bij 0，(i j)，

即A为对角矩阵。

2、证明：对任意m n矩阵A，AAT和ATA均为对称矩阵. 证明：(AAT)T=(AT)TAT=AAT ， 所以，AAT为对称矩阵。 (ATA)=A (A)=AA， 所以，ATA为对称矩阵。

3、证明：如果A是实数域上的一个对称矩阵，且满足A2 O，则A=O. 证明：设

a11 a21

A=

a n1

a12a22 an2

a1n

a2n

， ann

T

T

TT

T

其中，aij均为实数，而且aij aji。

由于A2 O，故 a11

a2T 21

A=AA=

a n1

2

a12a22 an2

a1n

a2n ann a11

a12 a 1n

a21a22 a2n

an1

an2

=0。 ann

取A的主对角线上的元素有

222

ai1 ai2 ain 0， （i=1,2,…,n）

因为，aij均为实数，故所有aij=0，因此A=O。

4、证明：如果A是奇数阶的反对称矩阵，则detA=0. 证明：设

a11 a21

A=

a n1

a12a22 an2

a1n

a2n

ann

为奇数阶反对称矩阵，即n为奇数，且

aij=-aji，i,j=1,2,…,n，

从|A|中每行提出-1，得

a120 an2

a1n a2n

0

a210 a2n

an1an2 0

|A|=( 1)

n

a21

an1

=( 1)

n

a12 a1n

=( 1)n|AT|=-|A|

（因为n为奇数，且|AT|=|A|），故得|A|=0。

5、设A、B、C均为n阶矩阵，且满足ABC=E，则下列各式中哪些必定成立，理由是什么？

（1）BCA=E； （2）BAC=E； （3）ACB=E； （4）CBA=E； （5）CAB=E。

答：第(1),(5)必定成立。因为ABC=E，说明ＢＣ是Ａ的逆矩阵，AB是Ｃ的逆矩阵，则(1),(5)必定成立。但是由于可能有AB BA，BC CB，所以其他的不一定成立。

6、设A、B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中有哪些一定成立？为什么？

（1）(A 1) 1

T

(A)

T

1 1

； （2）(AT)T

1

(A)

1

1T

；

（3）(Ak) 1 (A 1)k （k为正整数）； （4） (kA) 1 k 1A 1 （k为正整数）； （5）detA 1 (detA) 1 ； （6）(A B) 1 A 1 B 1；

（7）(AB)

T 1

O 1T 1T

(A)(B) ； （8） B

A O

1

O

1

B

A

。 O

1

答：一定成立的有(1),(3),(4),(5),(7)。 7、已知 1

2

3 , 1

T

12

T

1 Tn

，令A ，求A（n为正整数）. 3

解：因为An=( )( ) ( ) = ( ) ( ) ，

n 1个

T

T

T

T

其中

T

= 1

12

1 1

2 =3， 3 3

12132

1 3 2 。 3 1

1 n 1n 1T

所以 An=3 =3 2

3

8、计算行列式

1

1 1x 1 1

1x 111

x 1 1 1 1

11x 1

解：用Ｄ表示所给的行列式，把Ｄ分成两个行列式相加：

1 1x 1 1

1x 111

x 1 1 1 1

1 1x 1 1

1x 111

x 1 1 1 1

Ｄ＝

＋

00x

将右边第一个行列式的第一列加到第二、第四列，用－１乘第一列后加到第三列；将第二个行列式变成三阶行列式后再拆成两个三阶行列式相加，

00x0

0x00

x000

Ｄ＝

11x 11

x 101x 11

x 1 1 1

－x 1

1

1－x0 1

x

＝x4。

9、设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且detA a，detB b。如果 C B

O

A ， O

求detC.

解：把C通过mn次的相邻换行之后，即可把C化为C1，且

C1 O

t=( 1)mndetBdetA=( 1)mnab。 故 deC

B

O

A

10、证明：n阶行列式

2a1

a

2

0a

2

000

000 a

2

2a1 00

（1）

0 00

2a 00

(n 1)a;

n

2a1

2a

a b1

aba b1 00

0aba b 00

000

000 aba b

a

n 1

n 1

（2）

0 00

b

a b

.

a b1

证明：（1）令所给的矩阵为Dn，并按第一列展开得 Dn 2aDn 1 a2Dn 2，

所以 Dn 2aDn 1 a2Dn 2=3a2Dn 2 2a3Dn 3=4a2Dn 3 3a3Dn 4 =…=(n 1)an 2D2 (n 2)an 1D1=(n 1)an。

（2）令所给的行列式为Dn，并按第一列分成两个行列式相加，然后对第一个行列式从第一列开始，每列乘-b后往下一列加，即得

a1

aba b1 000a1 00

n

0aba b 00

000

n 1

000

000 aba b

b0

aba b1 00

0aba b 00

000

000 aba b

Dn=

0 00

+

0 00

000 0a

n 2

a b1

a b1

a1

00a 00

=

0 00

nnn 12

bDn 2 +bDn-1=a bDn 1=a ba

a1

2

=…=a ba ba b

n 1

a b=

n

a

n 1

b

n 1

a b

。

11、证明：n阶行列式

2cos 1

12cos 1 00

012cos 00

000 2cos 1

000 12cos

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