振动力学—随机振动

第五章 5-1 引言 5-2 随机过程

随机振动

5-3 随机过程的数字特征5-4 相关函数 5-5 功率谱密度函数 5-6 线性系统在随机激励下的响应1

5-1 引言前面三章所考察的振动都是确定性振动―振动系 统的规律可以用时间的确定性函数来描述 振动系统的物理量可以用随时间变化的确定函数 来描述，因此，确定性振动中的物理量在将来某 一时刻的值是可以预测的。 举例：单自由度系统的简谐强迫振动F0 1 x t x0 cos n t sin n t n k 1 n 2 x0 sin t sin n t n 2

自然界和工程上还存在着另一类振动，它们的规 律不能用时间的确定函数来描述，但又具有一定的 统计规律性。

在数学上这类振动可以用随机过程来加以描述。这类振动称为随机振动—非确定而又具有统计规 律。 举例：车辆行驶时由于路面不平引起的振动3

激励 输入

系统

响应 输出确定性响应

确定性系统+确定性激励 确定性系统+随机激励

随机响应

随机系统+任何激励

随机响应4

随机振动与确定性振动的本质区别在于它一般指 的不是单个现象，而是一个包含着大量现象的集合； 从集合中的单个现象来看似乎是杂乱的，但从总体 来看却存在着一定的统计规律性。因此，它虽然不 能用时间的确定函数来描述，但能用统计特性来描 述。 在确定性振动中，系统的激励与响应之间有着确 定的函数关系，而在随机振动中，只能满足于确定 它们的统计特性之间的关系。5

本章内容：① 介绍随机振动中物理量的描述方法(相关函 数、功率谱密度)。 ② 讨论受随机激励的振动系统的激励、系统特 性、响应三者统计规律性之间的关系。

5-2 随机过程过程：物理量随时间变化的情况 随机过程：无法准确预知物理量随时间的变化情 况，但其变化规律服从统计规律 随机过程是大量现象的一个数学抽象，理论上是 由无限多个无限长的样本组成的集合。X t x k t x k t :样本函数

对于随机现象，我们感兴趣的往往不是各个样本 本身，而是力图从这些样本得出总体的统计特性。 7

5-3 随机过程的数字特征

一、集合平均 . 平稳过程⑴ 随机过程 X t 的所有样本函数 x k t 在时刻 t1 的值 x1 t1 ,x2 t1 , 构成一个随机变量 xk t1 记为X t1

⑵ 对随机变量求集合平均1 n x t1 lim xk t1 E x k t1 n n k 1

称为随机过程 X t 在时刻 t1 的集合平均值 。 一般情况下 x t1 依赖于采样时刻 t1 。9

⑶自相关函数

x k t1 、 xk t1 构成两个随机变量对它们的乘积 xk t1 xk t1 求集合平均1 n Rx t1 , t1 lim xk t1 xk t1 E xk t1 xk t1 n n k 1

称为随机过程 X t 于时刻 t1 与 t1 的自相关函数。 它是时差 的函数，在一般情况下，它也依赖于采 样时刻 t1 ,反映这两个时刻的随机变量 x k t1 与xk t1 的统计联系。10

⑷平稳过程 随机过程可以根据其统计特性是否随采样时刻而 变化来进行分类。 统计特性依赖于采样时刻的过程—非平稳过程 统计特性不依赖于采样时刻的过程—平稳过程

平稳过程的特点

集合平均值为常数 相关函数仅仅依赖于时差 x t1 x t2 x 常数

Rx t,t Rx

二、时间平均.各态历经过程随机过程的每一个样本函数可以在时域内求得:

⑴ 时间平均值对第k个样本求平均

1 xk lim xk t dt T T补充：求函数的平均值1 b y a f t dt b a13

T 2 T 2

⑵ 自相关函数

1 R xk lim T T

T 2 T 2

x k t x k t dt

在一般情况下，对于不同的样本将得到不 同的 xk 和 Rxk 14

各态历经过程定义：各个样本的时域统计值都是等同的，而且任 一个样本函数在时域的统计值与任一时刻的随机变 量的统计值相等。

x1 x 2 xn Rx1 Rx 2 Rxn 1 n x t1 x t2 x lim xk xk n n k 1 1 n Rx lim Rxk Rxk n n k 1

结论： 集合平均与时刻t1无关，而时间平均与样本标号k 无关，是过程为各态历经的充要条件。 从任何一个样本得出的时间特性就等于集合平均 特性，将使数据处理容易的多。举例：半主动悬挂特性评价

各态历经过程一定是平稳的，反之不一定。平稳+各个样本的统计特性相同 各态历经16