厦门大学嘉庚学院《微积分II》期末试卷A解答(2010级)

课程《 微积分II 》【□√A卷 □B卷】 任课教师

学年第(下) 考试时长：分钟 【□√闭卷 □开卷】

1.请填写课程名称和任课教师姓名，考试时间；

2.请在该试卷上集中出题，标清题号，学生答题纸将统一另备。

(参考答案)一、填空：（每小题4分，共20分）

1. 若平面区域D是以A（0，1），B(2，1)，C(2，0)为顶点的三角形区域，则 dxdy D

22、设区域 则 xdxdy . D {(x,y)|0 x 1,0 y x},

D

3、若 un

n

2

2

3n 1

， 则级数 un的敛散性为n 1

n

4. 几何级数 aq(a 0)当 |q|<1 时收敛，其和为 a/(1-q) .

n 0

5．设二阶常系数齐次线性微分方程的特征根为r1 0,r2 2,则该方程是 y 2y 0

二、单项选择：（每小题4分，共20分）

1. 0dx xf(x,y)dy交换积分次序后为（ B ）：

A.

1

1

10

dy

0y

f(x,y)dx B.

10

dy

y0

f(x,y)dx C.

2

0dy yf(x,y)dx D.

11

10

dy

y

1

f(x,y)dx

2. 设平面区域D 0 x2 y2 4 则

(x

D

y)dxdy

2

=( D )：

A. 2π； B. 4π； C . 6π； D. 8π.

3. 幂级数

n 1

13n

n

x

n

的收敛半径为( C ).

A． 1 ； B． 2 ； C． 3 ； D．4 .

1

4. 微分方程

xdx ydy 0

22

，满足y

x 1

1的特解是( A ).

A；x3 y3 2 B x2 y2 2； C；x3 y3 1 D. x2 y2 1

(其中C1、C2为任意常数)5. 二阶微分方程 y y 6y 0 的通解是( C ) .

Y C1e C2e;Y C1e C2e;Y C1e C2e;Y A. B. C. D.

2x

3x

2x

3x

2x

3x

C1e

2x

C2e

3x

.

三、计算积分（共18分）

1. （8分） 计算二重积分

2

y

D10

x

yx

dxdy，其中区域D由直线x 1、x=2、y 1和x轴所围.

dy 12

12

解1：原式= dx

1

21

/40

1x12

y

2

10

dx

12ln2.ydy

12

1

2

1x

1

dx

10

lnx 1

ln2

解2：原式= dx

2

dy x

1

y

2

1

dx x

10

lnx

21

2

2

22x y

2. （10分）计算 其中区域 D {(x,y)|x y 1}.edxdy D

12

y 2

11

ln2 ln2.

22

解：选用极坐标，D可表示为0≤θ≤2π,0 ≤r ≤1. 于是

e

D

x x

22

dxdy e

D

2

r

2

rdrd

2 0

d

10

e

r

2

rdr

12

r2

e

10

d (e-1).

四、级数敛散性判别与求和（共22分）

1. （7分）判别正项级数

级 数收敛.解：因

lim

n

n 1

sin

1n!

的敛散性.

1

un 1un

sin lim

n

1

1(n 1)!(n 1)!

lim lim 0,根据比值判别法，n n n 111

sin

n!n!

2

2. （7分）判别任意项级数 1

的敛散性，若收敛要说明条件收敛或绝对收敛.

n 2

n

解：因|un

|un+1| 0

(n ),故根据莱布尼兹定理，

级数

1

n 2

n

收敛.1n

又

|un|1n

n

n 1，故

|un|与

同敛散。而调和级数

n 2

1n

发散，

故级数

n 2

|un|发散，

综上所述，级数

1

n 2

n

n

条件收敛.

3. （

8分）求幂级数 (n 1)x的和函数，以此求级数

n 0

n

n 12

n

之和.

解：令s(x)

n 0

(n 1)x

x

n

n

,则由级数展开式立得

x0

s(t)dt

n 0

(n 1) tdt

n 0

2

x

n 1

11 x

1

x1 x

,x ( 1,1),

s(x) 12

dx

取x

dx1 x

1(1 x)

n

x ( 1,1).12)

(1

112)

2

，最后得

n 0

n 12

s( 4.

五、方程求解（每小题

10分，共20分）

1.求一阶非齐次线性微分方程 y y sinx ecosx 的通解.

解：先解齐次方程

dyy

两边积分得

y y sinx 0，分离变量为

sinxdx,

即得齐次方程通解

lny cosx C1,y Ce

cosx

C

(C e1).

令C C(x),代入上式得

y C(x)e

代入原方程得

C (x) 1,

解得

C(x) x C.最后得原方程的通解

y (x C)e

cosx

cosx

和y C (x)e

cosx

C(x)sinx e

cosx

,

(C为任意常数).

3

2、求微分方程y 2y 3y 3x 1的通解。

解：(i) 原方程的特征方程为r2－2r－3=0，特征根为r= －1, r=3. 故原方程所对应的线性齐次方程为y －2y －3y= 0的通解为

Y C1e

x

C3x

1e

.

自由项f (x) =3x+1, 而λ=0 不是特征根，故设方程的特解为y*

ax b,y* a,

y* 0.

代入原方程，得-3ax-2a-3b=3x+1，即得a=-1,b=1/3.于是

y*

x

1故原方程的通解为

3

.y y*

Y x

13 C1e

x

C3x

2e

.

4

得