初等数论第一章第5节 最小公倍数

第五节 最小公倍数

定义整数a1 , a2 ,L , an的公共倍数称为 a1 , a2 ,L , an的公倍数, a1 , a2 ,L , an 的正公倍数中的最小的一个叫做 a1 , a2 ,L , an的最小公倍数, 记为[a1 , a2 ,L , an ].

定理1(1)[a,1] =| a |,[a, a] =| a |; (2)[a, b] = [b, a ]; (3)[a1 , a2 ,L , an ] = [| a1 |,| a2 |,L ,| an |]; (4)若a | b, 则[a, b] =| b | .

证明 : (1), (2)显然;

(3)设m1 = [a1 , a2 ,L , an ], m2 = [| a1 |,| a2 |,L ,| an |], 则由ai | m1推出 | ai || m1 , 即m2 | m1. 同理可得m1 | m2 , 故m1 = m2 ;

(4)显然a || b |, b || b |, 又若a | m′, b | m′, m′ > 0, 则 | b |≤ m′, 故有[a, b] =| b | .

定理2ab 对任意正整数a, b, 有[a, b] = . ( a, b)

证明 : 设m是a和b的一个公倍数, 则m = ak1 , m = bk2 , a b ∴ ak1 = bk2 , 于是 k1 = k2 . ( a, b) ( a, b ) a b b Q( , ) = 1,∴ k1 , ( a , b) ( a, b) ( a, b ) b ab t , (t是整数), 从而m = ak1 = t. 即k1 = ( a, b ) ( a, b) 另一方面, 对于任意的整数t , ab t所确定的m显然是a与b的公倍数, 由m = ( a, b) ab 因此a与b的公倍数必是m = t的形式, ( a , b) ab 当t = 1时, 得到最小公倍数[a, b] = . ( a, b)

推论1 两个整数的任何公倍数可以被它们的最小 公倍数整除.

ab 证明 : m = Q t是a与b的公倍数的形式, ( a, b) 且t = 1时, 是最小公倍数,∴结论成立.

推论2设m, a, b是正整数, 则[ma, mb] = m[a, b].

ma mb 证明 :[ma, mb] = (ma, mb) m ab mab = = = m[a, b]. m( a, b) ( a, b)2

定理3若a1 , a2 ,L , an是n(n ≥ 2)个正整数, 记[a1 , a2 ] = m2 ,[m2 , a3 ] = m3 ,L , [mn-2 , an-1 ] = mn-1 ,[mn-1 , an ] = mn , 则[a1 , a2 ,L , an ] = mn .

证明 :由[a1 , a2 ] = m2 ,[m2 , a3 ] = m3 ,L ,[mn-1 , an ] = mn 知mi mi +1 , i = 2,3,L , n 1, 且a1 m2 , ai mi , i = 2,3,L , n, 故mn是a1 , a2 ,L , an的一个公倍数; 反之, 设m是a1 , a2 ,L , an的任一公倍数, 则a1 m , a2 m, 故由定理2推论1, m2 m, 又a3 m , 同样由定理2推论1得m3 m . 依此类推, 最后可得mn m ,因此mn ≤ m . 故mn = [a1 , a2 ,L , an ].

例题

1 求[525, 231].2 求[221,391,136].

525 × 231 525 × 231 1解 :[525, 231] = = = 5775. (525, 231) 21

2解 :[221,391,136] = [[221,391],136] 221× 391 5083 ×136 =[ = 40664. ,136] = [5083,136] = (221,391) (5083,136)

3.求正整数a,b,使得 a+b=120,(a,b)=24,[a,b]=144.

3.ab=(a,b)[a,b]=24×144=3456,又 a+b=120,∴a=48,b=72或a=72,b=48.