matlab符号基础以及微积分

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数学软件第6讲 MATLAB符号计算一 MATLAB符号计算一

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6.1 符号计算基础 6.2 符号导数及其应用 6.3 符号积分

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6.1 符号计算基础 6.1.1 符号对象 1. 建立符号变量和符号常数 (1)sym函数 sym函数用来建立单个符号量，例如， a=sym('a')建立符号变量a,此后，用户可 以在表达式中使用变量a进行各种运算。西 南 科 技 大 学 网 络 教 育

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例6.1考察符号变量和数值变量的差别。 在 MATLAB命令窗口，输入命令： a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d'); %定 义4个符号变量 4 w=10;x=5;y=-8;z=11; %定义4个数值 变量 A=[a,b;c,d] %建立符号矩阵A B=[w,x;y,z] %建立数值矩阵B det(A) %计算符号矩阵A的行 列式 det(B) %计算数值矩阵B的行 列式

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例6.2比较符号常数与数值在代数运算时的差别。 在 MATLAB命令窗口，输入命令： pi1=sym('pi');k1=sym('8');k2=sym('2');k3=sym('3'); % 定义符号变量 pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3; % 定义数值 变量 sin(pi1/3) % 计算符号表达式 值 sin(pi2/3) % 计算数值表达式 值 sqrt(k1) % 计算符号表达式 值

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(2)syms函数 syms函数的一般调用格式为： syms var1 var2 … varn 函数定义符号变量var1,var2,…,varn等。 用这种格式定义符号变量时不要在变量 名上加字符分界符('),变量间用空格而 不要用逗号分隔。

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2. 建立符号表达式 例6.3用两种方法建立符号表达式。 在MATLAB窗口，输入命令： U=sym('3*x^2+5*y+2*x*y+6') %定义符号表 达式U syms x y; %建立符号变量x、y V=3*x^2+5*y+2*x*y+6 %定义符号表达式 V 2*U-V+6 %求符号表达式的值

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例6.4计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A 是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩 阵。 命令如下： syms a b c; U=[a,b,c]; A=[[1,1,1];U;U.^2] %建立范得蒙符号矩 阵 det(A) %计算A的行列式值

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例6.5建立x,y的一般二元函数。 在MATLAB命令窗口，输入命令： syms x y; f=sym('f(x,y)');

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6.1.2 基本的符号运算 1. 符号表达式运算 (1)符号表达式的四则运算 例6.6符号表达式的四则运算示例。 在 MATLAB命令窗口，输入命令： syms x y z; f=2*x+x^2*x-5*x+x^3 %符号表达式的结果为最 简形式 f=2*x/(5*x) %符号表达式的结果为最简形式 f=(x+y)*(x-y) %符号表达式的结果不是x^2y^2,而是(x+y)*(x-y)

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(2)因式分解与展开 factor(S) 对S分解因式，S是符号表达式或 符号矩阵。 expand(S) 对S进行展开，S是符号表达式 或符号矩阵。 collect(S) 对S合并同类项，S是符号表达式 或符号矩阵。 collect(S,v

) 对S按变量v合并同类项，S是 符号表达式或符号矩阵。

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例6.7 对符号矩阵A的每个元素分解因式。 命令如下： syms a b x y; A=[2*a^2*b^3*x^24*a*b^4*x^3+10*a*b^6*x^4,3*x*y5*x^2;4,a^3-b^3]; factor(A) %对A的每个元素分解因 式

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例6.8 计算表达式S的值。 命令如下： syms x y; s=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2); expand(s) %对s展开 collect(s,x) %对s按变量x合并同类项(无 同类项) factor(ans) % 对ans分解因式

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(3)表达式化简 MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有： simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。 simple(S) 调用MATLAB的其他函数对表达式进 行综合化简，并显示化简过程。 例6.9化简 命令如下： syms x y; s=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2; simple(s) %MATLAB自动调用多种函数对s进 行化简，并显示每步结果

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2. 符号矩阵运算 transpose(S) 返回S矩阵的转置矩阵。 determ(S) 返回S矩阵的行列式值。 colspace(S) 返回S矩阵列空间的基。 [Q,D]=eigensys(S) Q返回S矩阵的特征向量， D返回S矩阵的特征值。

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6.1.3 符号表达式中变量的确定 MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。 findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的 的符号变量。该函数的调用格式为： findsym(S,n) 函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有 指定n,则返回S中的全部符号变量。 在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有 明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定 主变量并对其进行相应微积分运算。可用 findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上， MATLAB按离字符'x'最近原则确定缺省变量。

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6.2 符号导数及其应用 6.2.1函数的极限 limit函数的调用格式为： limit(f,x,a) limit函数的另一种功能是求单边极限，其 调用格式为： limit(f,x,a,'right') 或 limit(f,x,a,'left')

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例6.10求极限。 在MATLAB命令窗口，输入命令： syms a m x; f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a); limit(f,x,a) %求极限(1) f=(sin(a+x)-sin(a-x))/x; limit(f) %求极限(2) limit(f,inf) %求f函数在x→∞(包括+∞ 和-∞)处的极限 limit(f,x,inf,'left') %求极限(3) f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a))/sqrt(x*x-a*a); limit(f,x,a,'right') %求极限(4)

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6.2.2 符号函数求导及其应用 MATLAB中的求导的函数为： diff(f,x,n) diff函数求函数f对变量x的n阶导数。参数x 的用法同求极限函数limit,可以缺省， 缺省值与limit相同，n的缺省值是1。西 南 科 技 大 学 网 络 教 育