球的内切和外接问题

球与多面体的内切、外接球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？r

.a

一、 球体的体积与表面积

4 3 ① V球 R 3二、 球与多面体的接、切

②

S球面 4 R

2

定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 。 多面体的外接球

定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。

若正方体的棱长为a,则 ⑴正方体的内切球直径= a ⑵正方体的外接球直径= ⑶与正方体所有棱相切的球直径=

图3

图4 图5

长方体的外接球的球心是体对角线的 交点，半径是体对角线的一半 设长方体的长、宽、高分别为a、b 、c 则对角线长为2+b2+c2 √a

例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A ) A. 1:2:3 B. 1: 2: 3 C. 1: 3 4: 3 9 D. 1: 8: 27

图3

图4 图5

甲球为内切球直径=正方体棱长设为1

S甲 4 R12 =

D A B

C

中截面

O D1 C1

.S乙 4 R2 =2 2

A1 球内切于正方体的棱

B1

正方形的对角线等于球的直径=

球外接于正方体

D A O D1 A1

C 对角面

B

A

C

2R 3

O

C1

A1

2

C1

B1设为1

球的内接正方体的对角线等于球直径。

S丙 4 R3 =3 2

有三个球,一球切于正方体的各面, 一球切于正方体的各棱,一球过正 方体的各顶点,求这三个球的体积 1: 2 2 : 3 3 之比_________.

例2、正三棱锥的高为 1,底面边长为 全面积和它的内切球的表面积。A

。求棱锥的

解法1: 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，

1O B O1 C

O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高

F DE

作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r,则 OA = 1 -r ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E

例2、正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 。求棱锥的 全面积和它的内切球的表面积。

解法2: 设球的半径为 r,则 VA- BCD =A VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD2 1 3 VA BCD 2 6 1 2 3 3 4 1 D r S全 3 2 2 3 r 3

O

B C

r 6 2

S球 8 5 2 6

1 注意：①割补法，② V多 面 体 S 全 r内 切 球 3

例3 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积解法1: 过侧棱 PA 和球心 O 作截面α 则α 截球得大圆，截正四面体得△PAD,如图所示, 连 AO 延长交 PD 于 G

6 a 3

P3 a 2

则 OG ⊥ PD,且 OO1 = OG ∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D

OAO1

G

D3 a 6

6 a R R 3 3 3 a a 2 6

6 R a 4

E

3 2 S 表 a 2

求棱长为a的正四面体P ABC的外接球的表面积

解法2:A正

方体的棱长为 2 a, 2 2 6 正方体外接球的直径 R 3 2 a, R a 2 4

B

O

S表

3 2 a 2

D C

求正多面体外接球的半径

求正方体外接球的半径

球的内切、外接问题1、内切球球心到多面体各面的距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。

正四面体的三个球

一个正四面体有一个外接球， 一个内切球和一个与各棱都 相切的球。那么这三个球的 球心及半径与正四面体有何 关系呢？为了研究这些关系， 我们利用正四面体的外接正 方体较为方便。 正四面体的外接球即为正 方体的外接球，与正四面 体各棱都相切的球即是正 方体的内切球，此两球的 球心都在正方体的中心， 在正四面体的高的一个靠 近面的四等分点上，