东南大学交通学院线性代数期末实验报告

东南大学交通学院线性代数期末实验报告

数学实验报告

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年 月 日

实验1 求解线性方程组

实验内容: 用MATLAB求解如下线性方程组Ax = b, 其中

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5 1 0 0A =

0 0 0 0

651000000651000000651000000651000000651000000651

0 0 0 0

, b = [2 1 0 1 0 7 0 2]T. 0 0 6 5

实验目的: 1.了解MATLAB软件, 学会MATLAB软件的一些基本操作.

2.熟悉MATLAB软件的一些数值计算功能. 3. 练习编写简单的MATLAB程序.

实验原理: 1. 对于系数行列式D=|A|≠0的方程组Ax = b, 根据克拉默法则, 其解为Xi=Di/D;

2. 当B不是零矩阵时, 对增广矩阵[A, b]进行初等行变换, 把它化为行

最简行矩阵, 则增广矩阵的最后一列就是该方程组的解向量。

3.当A可逆且A的行数=B的行数时, 方程组Ax = b的解为X = A\B

实验方案: 1. 在MATLAB命令窗口中输入如下命令:

>> a1=[5;1;0;0;0;0;0;0]; a2=[6;5;1;0;0;0;0;0]; a3=[0;6;5;1;0;0;0;0]; a4=[0;0;6;5;1;0;0;0]; a5=[0;0;0;6;5;1;0;0]; a6=[0;0;0;0;6;5;1;0]; a7=[0;0;0;0;0;6;5;1]; a8=[0;0;0;0;0;0;6;5]; b=[1;2;3;4;5;6;7;8];

A=[a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8]; D=det(A);X=[]; for i=1:8

A=[a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8]; A(:,i)=b;X=[X,det(A)/D]; i=i+1; end X=X' X =

-62.6300 52.3583 -32.8603 19.1572

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-9.8209 5.8246 -2.2170 2.0434

2. 在MATLAB命令窗口中输入如下命令:

>>A=[5 6 0 0 0 0 0 0;1 5 6 0 0 0 0 0;0 1 5 6 0 0 0 0;0 0 1 5 6 0 0 0;0 0 0 1 5 6 0 0;0 0 0 0 1 5 6 0;0 0 0 0 0 1 5 6;0 0 0 0 0 0 1 5]; b=[2;1;0;1;0;7;0;2]; D=det(A);X=[]; for i=1:8

A=[5 6 0 0 0 0 0 0;1 5 6 0 0 0 0 0;0 1 5 6 0 0 0 0;0 0 1 5 6 0 0 0;0 0 0 1 5 6 0 0;0 0 0 0 1 5 6 0;0 0 0 0 0 1 5 6;0 0 0 0 0 0 1 5]; A(:,i)=b;X=[X,det(A)/D]; i=i+1; end

format rat ,X 运行得： X =

-85.5146 71.5955 -45.2438 25.7706 -13.7682 7.1784 -2.5206 0.9041

3. 在MATLAB命令窗口中输入如下命令:

>>A=[5 6 0 0 0 0 0 0;1 5 6 0 0 0 0 0;0 1 5 6 0 0 0 0;0 0 1 5 6 0 0 0;0 0 0 1 5 6 0 0;0 0 0 0 1 5 6 0;0 0 0 0 0 1 5 6;0 0 0 0 0 0 1 5]; b=[2;1;0;1;0;7;0;2]; X=A\b 运行得： X =

-8808/103 6372/89 -10949/242

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4381/170 -3029/220 4386/611 -1283/509 745/824

实验结果: 1. X =

-62.6300 52.3583 -32.8603 19.1572 -9.8209 5.8246 -2.2170 2.0434 2. X =

-85.5146 71.5955 -45.2438 25.7706 -13.7682 7.1784 -2.5206 0.9041

3.X =

-85.5146 71.5955 -45.2438 25.7706 -13.7682 7.1784 -2.5206 0.9041

对实验结果的分析:

以上2、3虽然是两种不同的实验方案，但所解的线性方程组是同一个，所以实验结果相同。

实验2 研究三个平面的位置关系

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实验内容: 用MATLAB研究下面的3个平面

1: x + y + z = 1 2: x + y = 2 3: 2x + t2z = t

当t取何值时交于一点? 当t取何值时交于一直线? 当t取何值时没有公共的交点? 并在每一种情形下, 用MATLAB在同一个坐标系内绘制出这3个平面的图形(以上三种情形中, 只要给t取一个适当的值即可).

实验目的：1.练习编写简单的MATLAB程序.

2.掌握用MATLAB软件绘制简单图形的方法.

+ + =1

实验原理: 联立这3个平面的方程, 得方程组 + =2, 令A

2 + 2 =

1111111 1

= 110 , b = 2 , B = [A, b]= 110 2 , 则原问题转化

20 2 20 2 为线性方程组Ax=b的解。当t≠±1时有唯一解;当t= -1时有无穷多解; 当t=1时无解。根据非齐次线性方程组的解的理论, 解的个数就可代表平面交点的个数。

实验方案: 1. 当t=0时,在MATLAB命令窗口中输入如下命令:

>> y=-20:1:20;z=y; [Y,Z]=meshgrid(y,z);

X1=-Y-Z+1*ones(size(Y)); X2=Y-2*ones(size(Y)); X3=zeros(size(Y));

surf(X1,Y,Z),hold on, mesh(X2,Y,Z),mesh(X3,Y,Z) 运行后得:

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2. 当t= -1时, 在MATLAB命令窗口中输入如下命令: y=-3:0.1:3;z=y;

[Y,Z]=meshgrid(y,z);

X1=-Y-Z+1*ones(size(Y)); X2=Y-2*ones(size(Y));

X3=(-Z-1*ones(size(Y)))*0.5;

surf(X1,Y,Z),hold on, mesh(X2,Y,Z),mesh(X3,Y,Z) 运行得：

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3. 当t=1时,在MATLAB命令窗口中输入如下命令: y=-3:0.1:3;z=y;

[Y,Z]=meshgrid(y,z);

X1=-Y-Z+1*ones(size(Y)); X2=Y-2*ones(size(Y));

X3=(-Z+1*ones(size(Y)))*0.5;

surf(X1,Y,Z),hold on, mesh(X2,Y,Z),mesh(X3,Y,Z) 运行后得:

实验结果:

1. 当取t=0时, 三平面方程分别为: 1: x + y + z = 1 ; 2: x + y = 2; 3: x = 0.在同一坐标系中绘出这三个平面，观察图形发现此时它们显然交于一点.

2.当取t=-1时, 三平面方程分别为: 1: x + y + z = 1 ; 2: x + y = 2; 3: 2x+z=-1

在同一坐标系中绘出这三个平面，观察图形发现此时它们显然交与一条直线。

3. 当取t=1时, 三平面方程分别为: 1: x + y + z = 1 ; 2: x + y = 2; 3: 2x+z=1在同一坐标系中绘出这三个平面，观察图形发现此时它们显然没有交点。

对实验结果的分析:

1：结果表明t≠±1时三个平面交于一点

2：结果表明t= -1时三个平面交于一条直线 3:结果表明t=1时三个平面无公共点