5[1].1不定积分的概念与性质

第五章不定积分

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第五章 不定积分1 3 2 3 4 不定积分的概念与性质 换元积分法 分部积分法 几种特殊函数的积分2

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§5.1 不定积分的概念与性质1 2 原函数与不定积分的概念 不定积分的性质 不定积分的几何意义

3 4

不定积分基本公式3

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原函数与不定积分的概念引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力

下沿直线运动 , 试求质点的运动速度根据牛顿第二定律, 加速度

A 因此问题转化为: 已知 v (t ) sin t , 求 v(t ) ? m 定义5. 1 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 则称 F (x) 为f (x)在区间 I 上的一个原函数 . A A A 如引例中, sin t 的原函数有 cos t , cos t 3, m m m科学出版社 4

问题:1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理5.1 存在原函数 .(下章证明)

初等函数在定义区间上连续

初等函数在定义区间上有原函数科学出版社 5

定理 2.原函数都在函数族 证: 1) 即 ( C 为任意常数 ) 内 .

又知

[ ( x) F ( x)] ( x) F ( x) f ( x) f ( x) 0 ( x) F ( x) C0 (C0 为某个常数 ) 即 ( x) F ( x) C0 属于函数族 F ( x) C .故科学出版社 6

定义 5.2

在区间 I 上的原函数全体称为 其中 — 被积函数; — 被积表达式.(P151)

上的不定积分, 记作

— 积分号;— 积分变量;

积 被 分 积 函 号 数

f ( x )dx F ( x ) C被 积 表 达 式 积 分 变 量

任 意 常 数

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若

则 ( C 为任意常数 )

例如,

e dx e C x 2 dx 1 x 3 C 3 sin xdx cos x Cx

x

C 称为积分常数 不可丢 !

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按照不定积分的说法，有下面问题描述： (1)若已知物体运动的瞬时速度 v(t ) 则物体的运动规律 s (t )= v(t )dt (2)若已知曲线在每一点的切线的斜率 f ' ( x) 则此曲线为 f ( x) f ' ( x)dx

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以下我们所举例题和习题均为求连续函数的不定积分.例1 求 cos xdx 解 (sin x) cos x , 类似地:

cos xdx sin x C

sin xdx cos x C sec2

xdx tan x C

csc 2 xdx cot x C 科学出版社 10

1 例2 求 dx x1 1 解 x 0 时, (ln x) , dx ln x C x x 1 1 ( 1) , 又 x 0 时, [ln( x)]' x x 1 x dx ln( x) C 1 综上可得: dx ln x C x

x ( ,0) (0, )

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1 dx 例3 求 2 1 x 解 arctan x 【联想】

1 1 dx arctan x C 2

2 1 x 1 x

1 1 x2 1

dx arcsin x C

注：1)因为

1 x

2

dx arctan x C1 arc cot x C 2

同一个函数的原函数未必惟一. 2) 类似地有: 1

1 x2

dx arcsin x C1 arccos x C 212

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例4. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.

解:

y所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有

(1, 2)

o因此所求曲线为 y x 2 1

x

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不定积分的性质性质1 求不定积分与求导数互为逆运算,即 (1) [ f ( x)dx] f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x)dx (2)

F ' ( x)dx F ( x) C 或 dF ( x) F ( x) C kf ( x)dx k f ( x)dx(k 0)

性质2

性质3 [ f ( x) g ( x)]dx 的被积函数即可.科学出版社

f ( x)dx g ( x)dx14

证明上述性质,只要验证等式右端的导数等于左端

不定积分的几何意义的原函数的图形称为 的积分曲线 .

f ( x) dx 的图形y

的所有积分曲线组成的平行曲线族.

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o

x0

x

例5. 质点在距地面力, 求它的运动规律.

处以初速

垂直上抛 , 不计阻

解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,

质点抛出时刻为

此时质点位置为则

初速为x

设时刻 t 质点所在位置为

dx v(t ) dtd2 x d v g 2 dt dt

(运动速度) 再由此求 x(t ) (加速度) 先由此求 v(t )o

x x(t )x0 x(0)

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先求

由

知

x

v(t ) ( g ) d t g t C1

x x(t )x0 x(0)o

由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故 v(t ) g t v0再求由 知

x(t ) ( g t v0 )d t 1 g t 2 v0t C2 2

由 x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为x(t ) 1 g t 2 v0t x0 2科学出版社 17

例6 某工厂生产某种产品,每日投入生产总成本

y 的变化率是日产量 x

30 的函数 y ' 8 x

已知固定成本为100万元,求总成本与日产量的函数关系.30 解 因为总成本的变化率 y ' 8 ,所以有 x

30 y (8 )dx = 8 x 60 x C x

当 x 0 时,总成本 y 1000000代入上式得 C 1000000 从而总成本函数为 y 8 x 60 x 1000000科学出版社 18

例7 假定一个雪球半径为 r,其融化时体积 的变化率正比于雪球的表面积，比例常数为 k 0

( k 与环境的相对湿度，阳光，空气湿度等因素有关)。 已知两小时内融化了其体积的四分之一，问其余部分 在多长时间内全部融化完？

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