第3章模糊控制的理论基础

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第三章

模糊控制的理论基础3.2 模糊集合 3.2.1 定义 3.2.2 模糊集合的运算 3.4 模糊关系 3.4.1 模糊关系 3.4.2 模糊矩阵运算 3.4.3 模糊矩阵合成

3.1 概述 3.1.1 模糊控制的提出 3.1.2 模糊控制的特点 3.3 隶属函数 3.3.1 几种典型的隶属函数 3.3.2 隶属函数的仿真 3.3.3 隶属函数的确定方法 3.5 模糊推理 3.5.1 模糊语句 3.5.1 模糊推理 3.5.3 模糊关系方程

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3.1 概述3.1.1 模糊控制的提出 各种传统控制方法均是建立在被控对象精确

数学模型基础上的，然而，随着系统复杂程度的提高，将难以建立系统的精确数学模型。

在工程实践中，人们发现，一个复杂的控制系统可由一个操作人员凭着丰富的实践经验得到 满意的控制效果。这说明，如果通过模拟人脑的 思维方法设计控制器，可实现复杂系统的控制， 由此产生了模糊控制。

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3.1.2 模糊控制的特点模糊控制是建立在人工经验基础之上的。对于 一个熟练的操作人员，他往往凭借丰富的实践经验， 采取适当的对策来巧妙地控制一个复杂过程。若能 将这些熟练操作员的实践经验加以总结和描述，并

用语言表达出来，就会得到一种定性的、不精确的控制规则。如果用模糊数学将其转化为模糊控制算 法，就形成模糊控制理论。

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模糊控制理论具有一些明显的特点：

(1)模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设

计的控制器，故无需知道被控对象的数学模型。(2)模糊控制是一种反映人类智慧的智能控 制方法。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如 “高”、“中”、“低”、“大”、“小”等，控 制量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理是人

类智能活动的体现。

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(3)模糊控制易于被人们接受。模糊控制的核心是控制规则，模糊规则是用语言来表示的，如 “今天气温高，则今天天气暖和”,易于被一般人 所接受。 (4)构造容易。模糊控制规则易于软件实现。

(5)鲁棒性和适应性好。通过专家经验设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有效的控制。

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3.2 模糊集合3.2.1 定义

模糊集合是模糊控制的数学基础。1.特征函数和隶属函数 在数学上经常用到集合的概念。 例如：集合A由4个离散值x1,x2,x3,x4组成。 A={x1,x2,x3,x4}

例如：集合A由0到1之间的连续实数值组成。

A x, x R,0 x 1

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以上两个集合是完全不模糊的。对任意元素x,只有两种可能：要么属于A,要么不属于A。这种

特性可以用特征函数

A (x来描述： )

1 A ( x) 0

x A x A

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为了表示模糊概念，需要引入模糊 集合和隶属函数的概念： 1 A ( x )

(0,1) 0 x A x属于A的程度 x A

其中A称为模糊集合，由 A (x) 构成， A (x) 表示元素x属于模糊集合A的程度， 取值范围为[0,1],称 为x属于模糊 A (x) 集合A的隶属度。

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2. 模糊集合的表示① 模糊集合A由离散元素构成，表示为： 或 A ( x1 , 1 ), ( x 2 , 2 ), , ( xi , i ), ② 模糊集合A由连续函数构成，各元素的 隶 属 度 就 构 成 了 隶 属 度 函 数 (Membership Function),此时A表示为：

A 1 / x1 2 / x 2 i / xi

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A A ( x) / x在模糊集合的表达中，符号“/”、“+” 和“∫”不代表数学意义上的除号、加号和 积分，它们是模糊集合的一种表示方式， 表示“构成”或“属于”。模糊集合是以隶属函数来描述的，隶属 度的概念是模糊集合理论的基石。

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例 设论域U={张三，李四，王五},评 语为“学习好”。设三个人学习成绩总评 分是张三得95分，李四得90分，王五得85 分，三人都学习好，但又有差异。 若采用普通集合的观点，选取特征函

数

1 C A (u ) 0

学习好 A 学习差 A

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此时特征函数分别为(张三)=1,(李四)=1,(王五)=1。这样就反映不出三者的差异。假若采

用模糊集合的概念，选取[0,1]区间上的隶属度来表示它们属于“学习好”模糊集合A的程度， 就能够反映出三人的差异。 采用隶属函数 三人的成绩可知三人“学习好”的隶属度为(张 这一模糊集合A可表示为：A 0.95 , 0.90 , 0.85

A ( x) x / 100 ,由

三)=0.95,(李四)=0.90,(王五)=0.85。用“学习好”

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其含义为张三、李四、王五属于“学习 好”的程度分别是0.95,0.90,0.85。 例 以年龄为论域，取 X 0,200 。Zadeh 给出了“年轻”的模糊集Y,其隶属函数为 0 1 2 Y ( x ) x 25 1 5 0 x 25 25 x 100

通过Matlab仿真对上述隶属函数作 图，隶属函数曲线如下图所示。

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1 0.9 0.8

Degree of membership

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

20

40

60 X Years

80

100

120

图 “年轻”的隶属函数曲线

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3.2.2 模糊集合的运算1 模糊集合是用隶属函数来表征的，因此两 个模糊集合之间的运算实际上就是逐点对隶 属度作相应的运算。 (1)空集 模糊集合的空集为普通集合，它的隶属 度为0,即

A A (u) 0

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(2)全集 模糊集合的全集为普通集合，它的隶属 度为1,即

A E A (u) 1(3)等集 两个模糊集合A和B,若它们的隶属 函数相等，则A和B也相等。即

A B A (u) B (u)

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(4)补集 若 A 为A的补集，则

A A (u ) 1 A (u )例如，设A为“成绩

好”的模糊集合， 某学生 u 0 属于“成绩好”的隶属度为：

A (u 0 ) 0.8则 u 0 属于“成绩差”的隶属度为：

A (u 0 ) 1 0.8 0.2

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(5)子集 若B为A的子集，则

B A B (u) A (u)(6)并集 若C为A和B的并集，则 C=A∪B A B A B (u ) max( A (u ), B (u )) A (u ) B (u )

(7)交集 若C为A和B的交集，则 C=A∩B

A B A B (u ) min( A (u ), B (u )) A (u ) B (u )

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模糊运算的基本性质： (1)幂等律 A∪A=A,A∩A=A (2)交换律

A∪B=B∪A,A∩B=B∩A(3)结合律

(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)