第10章 相关系数与Copula函数

John Hull的《风险管理与金融机构》第10章,讲相关系数与Copula函数。

Chapter 10 相关系数与Copula函数

John Hull的《风险管理与金融机构》第10章,讲相关系数与Copula函数。

引言 假设一家公司对市场的两个不同的变量有风险暴露，两个 变量之中的任何一个变量增加1个标准差，公司会收益 1000万美元；两个变量之中的任何一个变量减少1个标准 差，公司会亏损1000万美元。

如果这两个市场变量的变化有很强的正相关性，公司面临 的整体风险很大；如果市场变量的相关性为0,公司面临 的整体风险会小一些，但整体风险仍然很大；如果市场变 量的变化有很强的负相关性，公司面临的整体风险会大大 减小。 这个例子说明：相关系数及波动率的合理估计，对于正确 检测风险的暴露至关重要。2/72 2/20

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引言

本章内容：-讨论对于相关系数如何做出一个类似检测波动率的检验方法； - 通过Copula函数定义两个或者更多变量之间的相关结构； - 利用Copula计算一个贷款组合的风险价值度。

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10.1 相关系数 变量V1 及V2的相关系数定义为

E (V1V2 ) E (V1 ) E (V2 ) SD(V1 )SD(V2 ) 变量V1 及V2的协方差定义为

cov E(V1V2 ) E(V1 ) E(V2 ) 虽然直觉上更容易理解相关系数，但是协方差才是真正需要分析的变 量。正如在EWMA及GARCH模型中，波动率更容易被人理解，但是 方差才是真正的基础变量。

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相关系数及关联性 如果变量V1 和 V2 任意一个变量的信息不影响另一个变量 的分布，那么在统计上它们被定义为独立。即

f (V2 V1 x) f (V2 )其中 f(.)表示变量的概率密度函数。 两个变量的相关系数为零，是否一定不相关？ 举例说明

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相关性的类型

E(Y) X

E(Y) X

(a)E(Y)

(b)

X

(c)6/20

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10.2 监测相关系数 假定变量X及Y在第i天结束时的收益率为 xi=(Xi-Xi-1)/Xi-1 , yi=(Yi-Yi-1)/Yi-1

varx,n: 第n-1天计算的变量 X 的日方差vary,n: 第n-1天计算的变量 Y 的日方差 covn: 第n-1天计算的变量 X 和Y的协方差

1 m 协方差 covn E ( xn y n ) E ( xn ) E ( y n ) E ( xn y n ) xn i y n i m i 1 方差 1 m 2 1 m 2 VARx ,n xn i ,VAR y ,n y n i m i 1 m i 1 第n天相关系数的估计值为7/72 7/20

covn varx,n vary ,n

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监测方差

EWMA:

covn covn 1 (1 ) xn 1 yn 1GARCH(1,1)

covn xn 1 yn 1 covn 1

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协方差矩阵的一阵性 协方差矩阵需要满足内部一致性条件

w w 0T 为什么？一定满足吗？

w (1,1, 1)0 1 0.99/72 9/20

T

1 0 0.9

0.9 0.9 1

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10.3 多元正态分布 假定V1 及V2服从二元正态分布，变量V1 的某个观察值为v1, V2在V1 = v1 的条件下分布为正态分布，期望值为

标准差为

V1 m1 m2 s1s2 1 2

m1,, m2, s1, s2 分

别为变量 V1 和 V2 的无条件均值和方差， 是变量 V1 和 V2的相关系数。

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随机抽样 近似正态分布的生成

Ri 6i 1

12

其中 Ri 是 0 到 1之间的相互独立的随机变量。

对于多元联合正态分布的随机抽样，通常用Cholesky分解 法来生成，要求方差—协方差矩阵半正定。

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因子模型 若 Ui 服从标准正态分布，在单因子模型中，可设定为

U i ai F 1 a Zi2 i

其中 F为共同因子，Zi 为相互独立的因子，均服从独立的标 准正态分布， ai 为介于-1到1之间的常数。 多因子模型2 U i ai1F1 ai 2 F2 aiM FM 1 ai2 ai22 aiM Zi 1

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10.4 Gauss Copula 函数 已知两个相互关联的变量V1 及 V2的边际分布的估计，如何决定变量 间的联合分布呢？

当变量V1 及 V2的边际分布为正态分布时，一种方便的做法(不是唯 一)是假设变量V1 及 V2服从二元正态分布。 若变量V1 及 V2的边际分布不为正态分布，也可以做类似假设。将变 量V1 及 V2按分位数对应的原则映射到变量U1 及 U2,变量U1 及 U2服 从二元联合正态分布。 精髓在于没有直接定义变量V1 及 V2的相关性，而是采取一种间接的 方式，即将V1 和 V2映射到较好的分布上定义其相关性。13/72 13/20

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映射实例

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-0.2

0

0.2

0.4

V1

V2

0.6

0.8

1

1.2

One-to-one mappings

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6

-4

-2

0

2

4

6

U1 Correlation Assumption

U2

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其他Copula函数

假定G1 和 G2分别为V1 和 V2的累积边际概率分布函数，N 为累积正态分布函数

G1 (v1 ) N (u1 ), G2 (v2 ) N (u 2 ) 变量U1 和 U2 被假定为其他联合分布。 比如，学生-t 分布，t-Copula函数。

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抽样比较105 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 0 1 2 3 4 5

5

0 -10 -5 0 5 10

-5

-10

二元正态分布5000个抽样

二元学生t分布5000个抽样16/72 16/20

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多元Copula函数 Copula函数可以用于描述多于两个变量之间的相关结构。

假定已知N个变量V1, V2,…Vn的边际分布，可以按照分位数对应的原则将 Vi 映射到标准正态分布Ui ,其中Ui 服从多 元正态分布。 因子模型

U i ai F 1 a Zi2 i

F及Zi分别服从标准正态分布，且相互独立 其他形式的Copula模型对应的F及Zi可以是其他形式。17/72 17/20

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