高数中常微分方程12-9(修)

第九节 常系数非齐次线性微分方程f ( x) = eλx P ( x) 型 一、 mf ( x) = eλx [P ( x)cosωx + P sinωx] 二、 l n

型

f ( x) = eλx P ( x) 一、 m

型

y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程 通解结构 常见类型

y′′ + py′ + qy = 0,

y = Y + y,

Pm ( x ),λx

Pm ( x )e λx ,Pm ( x )e λx sin βx ,

Pm ( x )e cos βx ,难点：如何求特解？ 难点：如何求特解？

方法：待定系数法 方法：待定系数法.

λ 设非齐方程特解为 y = Q( x)e 代入原方程

λx

Q′′( x ) + ( 2λ + p )Q′( x ) + (λ2 + pλ + q )Q ( x ) = Pm ( x )2 (1) 若λ不是特征方程的根，λ + pλ + q ≠ 0, 不是特征方程的根，

y = Qm ( x)eλx ; 可设 Q ( x ) = Qm ( x ),( 2) 若λ是特征方程的单根， 是特征方程的单根，

λ + pλ + q = 0, 2λ + p ≠ 0,2

可设 Q( x ) = xQm ( x ),

y = xQm ( x)eλx ;

( 3) 若λ是特征方程的重根， 是特征方程的重根，

λ2 + pλ + q = 0,

2λ + p = 0,

可设 Q ( x ) = x 2 Qm ( x ), y = x2Q ( x)eλx . m

综上讨论 0 λ不是根 k λx k = 1 λ是单根 , 设 y = x e Qm (x) , 2 λ是重根

注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方 是重根次数) 程(k是重根次数).

特别地

y′′ + py′ + qy = Aeλx

A e λx , λ不是特征方程的根 λ 2 + pλ + q A y= xe λx λ是特征方程的单根 2λ + p A 2 λx xe λ是特征方程的重根 2

,

例1 解

求微分方程 y' ' 2 y' 3 y = 3 x + 1 的一个特解 所对应的齐次方程 y' ' 2 y' 3 y = 0 的特征方程

r 2 2r 3 = 0 不是特征方程的根， 解得根为 r1 = 1, r2 = 3, 由于 λ = 0 不是特征方程的根，设特解为 y = b0 x + b1 . 带入所给方程， 带入所给方程，得 3b0 x 2b0 3b1 = 3 x + 11 比较同次幂的系数， 比较同次幂的系数，得 b0 = 1, b1 = . 求得的特解为 3

1 y = x + . 3

例2 求 程 y′′ 3y′ + 2y = xe2x 的 解 方 通 . 解 特征方程 r 2 3r + 2 = 0, 特征根 r1 = 1,r2 = 2, 对应齐次方程通解 Y = C1e x + C 2e 2 x ,Q λ = 2 是单根， 设 y = x( Ax + B)e2x , 是单根，1 A = ∴ 2 , B = 1

代入方程, 代入方程 得 2 Ax + B + 2 A = x1 是 于 y = x( x 1)e2x 2

1 y = C1ex + C2e2x + x( x 1)e2x . 原方程通解为 2

f ( x) = eλx [P ( x)cosωx + P sinωx] 二、 l nf ( x ) = e λx [ Pl cos ωx + Pn sin ωx ]

型

利用欧拉公式

e iω x + e iω x e iω x e iω x ] = e λx [ Pl + Pn 2 2i

Pl Pn ( λ + iω ) x Pl Pn ( λ iω ) x = ( + )e + ( )e 2 2i 2 2i

= P ( x )e ( λ + iω ) x + P ( x )e ( λ iω ) x ,设 y′′ + py′ + qy = P( x)e(λ+iω ) x

y1 = x k Qm e ( λ + iω ) x , ,

设 y′′ + py′ + qy = P( x)e

(λ iω ) x

,

y2 = x k Qm e ( λ iω ) x ,

∴ y = x k e λx [Qm e iωx + Qm e iωx ]( ( = x k e λx [

Rm1) ( x ) cos ωx + Rm2 ) ( x ) sin ωx ],( ( m 其中 Rm1) ( x ), Rm2 ) ( x )是m 次多项式， = max{l , n} 次多项式，

0 λ ± iω不是根 k= , 1 λ ± iω是单根

注意 阶常系数非齐次线性微分方程. 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.

例3 解

方 求 程 y′′ + y = 4sin x的 解 通 .对应齐方通解 Y = C1 cos x + C 2 sin x , 作辅助方程 y′′ + y = 4eix ,* ix Q λ = i 是单根 , 故 y = Axe ,

代入上式 2 Ai = 4, ∴ A = 2i ,

∴ y* = 2ixe ix = 2 x sin x ( 2 x cos x )i ,所求非齐方程特解为 y = 2 x cos x , 取虚部) (取虚部) 原方程通解为 y = C1 cos x + C 2 sin x 2 x cos x .

例4 解

方 求 程 y′′ + y = xcos 2x的 解 通 .对应齐方通解 Y = C1 cos x + C 2 sin x ,2ix 作辅助方程 y′′ + y = xe ,

Q λ = 2i 不是特征方程的根 ,

设 y* = ( Ax + B )e 2 ix , 代入辅助方程 4 Ai 3 B = 0 3 A = 1

1 4 ∴ A = ,B = i, 3 9

1 4 ∴ y* = ( x i )e 2 ix , 3 9

1 4 = ( x i )(cos 2 x + i sin 2 x ) 3 91 4 4 1 = x cos 2 x + sin 2 x ( cos 2 x + x sin 2 x )i , 3 9 9 3

1 4 取实部) 所求非齐方程特解为 y = x cos 2 x + sin 2 x ,(取实部) 3 9 1 4 原方程通解为 y = C1 cos x + C 2 sin x x cos 2 x + sin 2 x . 3 9

注意

Aeλx cosωx, Aeλx sinωx

别 分 是 Ae(λ+iω) x 的 部 虚 . 实 和 部

例5 解

方 求 程 y′′ + y = tan x 的 解 通 .对应齐方通解 Y = C1 cos x + C 2 sin x ,

用常数变易法求非齐方程通解

设 y = c1 ( x ) cos x + c 2 ( x ) sin x , c1 ( x ) = sin x ln sec x + tan x + C1 w ( x ) = 1, , c2 ( x ) = cos x + C 2

原方程通解为y = C1 cos x + C 2 sin x cos x ln sec x + tan x .

四、小结 (待定系数法 待定系数法) 待定系数法(1) f ( x ) = e λx Pm ( x ), (λ可以是复数) 可以是复数)

y = xkeλxQm (x);( 2) f ( x ) = e λx [ Pl ( x ) cos ωx + Pn ( x ) sin ωx ],(1 ( y = xkeλx[Rm ) ( x)cosωx + Rm2) ( x)sinωx];

只含上式一项解法：作辅助方程 求特解 求特解, 只含上式一项解法：作辅助方程,求特解 取特解的 实部或虚部, 得原非齐方程特解. 实部或虚部 得原非齐方程特解