第7讲 随机变量的函数的分布

第7讲 随机变量的函数的分布 主讲：李昌兴

第7讲

随机变量的函数的分布

一、问题的提出 二、离散性随机变量的函数的分布 三、连续型随机变量的函数的分布

第7讲 随机变量的函数的分布 主讲：李昌兴

第7讲

随机变量的函数的分布

一、问题的提出在实际问题中经常会遇到由随机变量为自变量构成的函数，如对 某工厂生产的一批圆盘进行检验， 圆盘的半径r是一个随机变量，圆盘 的面积S= r 2 是关于r 的函数，我

们希望通过半径r的分布情况了解面积S 的分布情况。

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第7讲

随机变量的函数的分布

一、问题的提出设y=g(x)是连续函数，X为定义在样本空间上的随机 变量，令Y=g(X),那么Y也是一个定义在同一个样本空间 上的随机变量。 如果X是离散型的随机变量，那么Y也是离散型的随 机变量。 如果X是连续型的随机变量，那么Y也是连续型的随 机变量。

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第7讲问题

随机变量的函数的分布

一、问题的提出已知随机变量X 的分布率 P ( X xk ) 或者密 度函数 f X ( x ) ,求随机变量Y= g (X)的分布率 P (Y yk ) 或 密度函数 fY ( y ) .

方法

将与Y 有关的事件转化成 X 的事件

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二、离散型随机变量的函数的分布例1 设离散型随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 第一步：列表

求(1)Y=X-1; (2) Y=-2X2 的分布律。解

X X-1 X2 P

-1 -21

0 -10

1 01

2 14

3 29

0.2

0.1

0.1

0.3

0.3

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二、离散型随机变量的函数的分布例1 设离散型随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 第二步：写出分布率

求(1)Y=X-1; (2) Y=-2X2 的分布律。解

X-1 P

-2

-1

0

1

2

0.2 00.1

0.1 10.3

0.1 4

0.3

0.3 90.3

X2 P

0.3

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二、离散型随机变量的函数的分布设X是一个离散型随机变量，其分布律为 X P x1 p1 x2 p2 … … xk pk … …

y=g(x)是一个连续函数，那么随机变量X的函数Y=g(X)也 是一个离散型随机变量，且其分布律为Y P g(x1) g(x2) p1 p2 … … g(xk) pk … …

注意：若g(xk)的值中有相等的，则应把那些相等的值分别 合并，把对应的概率相加，并把g(xk) 按递增顺序排列.

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例2 已知 X 的概率分布为

P ( X k ) pq k , k 0,1,2, 其中 p + q = 1, 0 < p < 1, 求Y sin

X2

的概率分布。

3 2k )} 1) P{ ( P (Y 1) P (sin 2 2 2 k 0 P{ ( X 4k 3)} P ( X 4k 3)k 0k 0

解 由已知随机变量的所有可能取值-1,0,1.

X

X

pqk 0

4k 3

pq 4 1 q

3

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类似可求

p P (Y 0) P ( X 2k ) pq 2 1 q k 0 k 02k

P (Y 1) P ( X 4k 1) pqk 0 k 0

4 k 1

pq 1 q4

故 Y 的概率分布为

Y pi

-1

0

1

pq 3 1 q4

p 1 q2

pq 1 q4

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三、连续型随机变量的函数的分布例3 设连续型随机

变量X具有概率密度

求Y=2X+1的概率密度fY(y)。 解 先求出Y 的分布函数FY(y)

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三、连续型随机变量的函数的分布例3 设连续型随机变量X具有概率密度

求Y=2X+1的概率密度fY(y)。 解 先求出Y 的分布函数FY(y)

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例4

设随机变量X~N(0,1),求(1) Y=|X| 的密度函数

fY(y),(2) Y=X2的密度函数fY(y). 解 由已知条件X的概率密度为 (1)随机变量Y=|X| 的分布函数

.

FY ( y ) P (Y y ) P (| X | y )当y<0 时， X | y )是不可能事件，那么 FY ( y ) 0. (| 当y 0 时，

FY ( y ) P (| X | y ) P ( y X y ) FX ( y ) FX ( y )

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例4

设随机变量X~N(0,1),求(1) Y=|X| 的密度函数

fY(y),(2) Y=X2的密度函数fY(y). 解 由已知条件X的概率密度为 (1)随机变量Y=|X| 的密度函数

.

fY ( y ) FY ( y )

y 0, FY ( y ) 0

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例4

设随机变量X~N(0,1),求(1) Y=|X| 的密度函数

fY(y),(2) Y=X2的密度函数fY(y). 解 由已知条件X的概率密度为 (1)随机变量Y=|X| 的密度函数

.

f X ( y ) f X ( y ), y 0, fY ( y ) FY ( y ) 0, y 0. y2 2 e 2 , y 0, 2 0, y 0. y 0, FY ( y ) FX ( y ) FY ( y )

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例4

设随机变量X~N(0,1),求(1) Y=|X| 的密度函数

fY(y),(2) Y=X2的密度函数fY(y). 解 由已知条件X的概率密度为 (2)随机变量Y=X2的分布函数

.

FY ( y ) P (Y y ) P ( X 2 y )

P ( y X 0,

y ),

y 0, y 0. y 0, y 0.

FX ( y ) FX ( y ), 0,

第7讲 随机变量的函数的分布 主讲：李昌兴

例4

设随机变量X~N(0,1),求(1) Y=|X| 的密度函数

fY(y),(2) Y=X2的密度函数fY(y). 解 由已知条件X的概率密度为 (2)随机变量Y=X2的密度函数

.

1 1 fX ( y ) f X ( y ), 2 y fY ( y ) 2 y 0, y 1 e 2 , y 0, 2 y 0, y 0.

y 0, y 0.

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特别，当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，有 定理1 设随机变量X具有概率密度fX(x). 函数g(x)为 ( )内的严格单调的可导函数，则Y=g(X)也是一个连 续型随机变量，且Y的概率密度函数为

其中x=h(y)是y=g(x)的反函数， min{ g( ), g( )},

max{ g( ), g( )}.证 若y=g(x)严格单调增加，则其反函数x=h(y)存在 且也严格单调增加。

Y=g(X)在区间( ,β)内取值.

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当 y 时，FY(y)=0; 当 y 时，FY(y)=1; 当 时,

FY ( y ) P (Y y ) P[ g( X ) y] P[ X h( y )] FX [h( y )]Y的概率密度为

若y=g(x)严格单调下降，同样可以证明:

综上所述，定理得证.

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特别，当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，有 定理1 设随机变量X具有概率密度fX(x). 函 …… 此处隐藏：1760字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……