直线和平面平行的性质定理

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

2.2.3 直线与平面平行的性质

复习提问直线与平面有什么样的位置关系？ 1.直线在平面内——有无数个公共点； 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点； 3.直线与平面平行——没有公共点。

a

a

a

复习：线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平 行，那么这条直线和这个平面平行。

a b a∥ b 注意：

a

a∥

b

1、定理三个条件缺一不可。 2、简记：线线平行，则线面平行。

3、定理告诉我们： 要证线面平行，得在面内找 一条线，使线线平行。

问题1:命题“若直线a平行于平面α,则直 线a平行于 平面α内的一切直线.”对吗？ a

那么直线a会与平面α 内的哪些直线平行呢?

c

b

问题2: 在上面的论述中，平面α内的直线b满足什么条件时， 可以和直线a平行？ ∵ 直线a与平面 α内任何直线都没有公共点， ∴过直线a 的某一个平面 ,若与平面α 相交，则这一条交线b就平行于直线a.

a

b

已知:直线a , a , b 求证:a // b证明： a //

a与 没有公共点∵ ∩ =b,∴ b在 内。又 a与b都在平面 内 且没有公共点

a

b

a与b没有公共点

a // b

结论：直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条 直线的任意平面和这个平面相交,那么这条直 线和交线平行。 a

a , a , b

a // b

b

注意：1、定理三个条件缺一不可。

2、简记:线面平行,则线线平行。

巩固练习：以下命题(其中a,b表示直线， 表示平面) ①若a∥b,b ,则a∥ . ( ) ②若a∥ ,b∥ ,则a∥b . ( ) ③若a∥b,b∥ ,则a∥ . ( ) ④若a∥ ,b ,则a∥b . ( ) 其中正确命题的个数是(A)0个(B)1个

(

) A

(C)2个(D)3个

定理应用例3:有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′. (1)要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？ (2)所画的线和面AC有什么关系？

解：(1)如图，在平面A C 内，过点P作直线EF,使 EF// B C ,并分别交棱A B ,C D 于点E,F.连接 BE,CF.则EF,BE,CF就是应画的线.,平面 BC 与平面A C 交于 B C ,所以，BC// B C .由(1)知，EF // B C , 所以EF//BC,因此(2)因为棱BC平行于平面 A C

EF//BC EF不在平面AC内BC在平面AC内

EF // 平面AC

∴BE,CF显然都与平面AC相交.

反思~领悟：1.应用线面平行的

性质定理的关键是： 过已知直线作一个平面。 2.应用定理的要决：“见到线面平行， 先过这条直线作一个平面找交线， 则直线与交线平行。”如果再需要 过已知点，这个平面是确定的。

3.利用该定理可解决直线间的平行问题。

例4:已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平 面，求证：另一条也平行于这个平面

如图：已知直线a,b,平面 ,

且a // b,a// ,a,b都在平面 外。 a 求证：b// 证明：过a作面 交 于c

bc

c注意： 线//面

a // a

b//c

a//ca//b

c b

b //

线//线

转化是立体几何的一种重要的思想方法。

练习：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一 条,那么它们的交线和这两条直线平行。

a // b, a , b , 已知：求证：c // a // b 证明： a // b b a

c.a

c

b β

a // a c

a // c a // b

α

c // a // b

小结证明线面平行的转化思想： (1)平行公理 (2)三角形中位线 (3)平行线分线段成比例 (4)相似三角形对应边成比例 (5)平行四边形对边平行 线//面 面//面

线//线

由a // , 通过构造过直线 a 的平面 与平面 相交于直线b,只要证得a // b即可。

思考：B

证明：AB//平面

A

AB//β ∩β= CD AB//平面 AB ∩ = EF 于是，CD//EF。

AB//CD,

D

F

AB//EF

E

C

作业：过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作 一平面交平面CDD1C1于EE1.求证： BB1∥EE1.