高中数学数列知识点解析(高三必备)

高中数学数列专题训练

1. ⑴等差、等比数列：

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①an an 1 d(n 2,d为常数) ②2an an 1 an 1(n 2) ③an kn b(n,k为常数).

⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①an an 1q(n 2,q为常数,且 0)

① 2

②an an 1 an 1(n 2，anan 1an 1 0)

注①：i. b ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b acii. b ac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. b →为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. b 且ac 0→为a、b、c等比数列的充要. （三）常用结论

1）: 1+2+3+...+n =

、b、c等比数列.

n(n 1)

2

2

2） 1+3+5+...+(2n-1) =n

1

3）13 23 n3 n(n 1) 2

4） 1 2 3 n

2

2

2

2

2

1

n(n 1)(2n 1) 6

5）

1111111

( )

n(n 1)nn 1n(n 2)2nn 21111 ( )(p q)pqq ppq

6）

数列通项公式的求法

一、公式法 ①an

（ S1n 1)； Sn Sn 1(n 2)

② an 等差、等比数列 an 公式.

例 已知数列{an}满足an 1 2an 3 2n，a1 2，求数列{an}的通项公式。 评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an 3 2n转化为

an 1an3

n ，说明数列n 1

222

aan3是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列{n 1 (n 1)2n2n2

{an}的通项公式。

二、累加法

例 已知数列{an}满足an 1 an 2n 1，a1 1，求数列{an}的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 an 2n 1转化为an 1 an 2n 1，进而求出(an an 1) (an 1 an 2)

(a3 a2) (a2 a1) a1，即得数列{an}的通项公式。

例 已知数列{an}满足an 1 an 2 3n 1，a1 3，求数列{an}的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 an 2 3n 1转化为an 1 an 2 3n 1，进而求出an (an an 1) (an 1 an 2) 项公式。 三、累乘法

例 已知数列{an}满足an 1 2(n 1)5n an，a1 3，求数列{an}的通项公式。 评注：本题解题的关键是把递推关系an 1 2(n 1)5 an转化为

n

即得数列{an}的通 (a3 a2) (a2 a1) a1，

an 1

2(n 1)5n，进而求an

出

anan 1

an 1an 2

a3a2

a1，即得数列{an}的通项公式。 a2a1

四、取倒数法

例 已知数列{an}中，其中a1 1,，且当n≥2时，an

an 1

，求通项公式an。

2an 1 1

解 将an

an 1111

2，这说明{是一个等差数列，两边取倒数得：

ananan 12an 1 1

首项是

111

. 1，公差为2，所以 1 (n 1) 2 2n 1，即an

2n 1a1an

五、待定系数法

例 已知数列{an}满足an 1 2an 3 5n，a1 6，求数列 an 的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an 3 5n转化为an 1 5n 1 2(an 5n)，从而可知数列{an 5n}是等比数列，进而求出数列{an 5n}的通项公式，最后再求出数列

{an}的通项公式。

例 已知数列{an}满足an 1 3an 5 2n 4，a1 1，求数列{an}的通项公式。 评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 3an 5 2n 4转化为

an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n 2)，从而可知数列{an 5 2n 2}是等比数列，进而求

出数列{an 5 2n 2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。 六、对数变换法

5

例 已知数列{an}满足an 1 2 3n an，a1 7，求数列{an}的通项公式。 5评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an 1 2 3n an转化为

lg3lg3lg2lg3lg3lg2

(n 1) 5(lgan n )，从而可知数列41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2

{lgan n 是等比数列，进而求出数列{lgan n 的通项

41644164lgan 1

公式，最后再求出数列{an}的通项公式。 七、迭代法

例 已知数列{an}满足an 1 a

3(n 1)2n

n

，a1 5，求数列{an}的通项公式。

3(n 1)2n

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an 1 an两边取常用对数得lgan 1 3(n 1) 2 lgan，即

n

lgan 1

3(n 1)2n，再由累乘法可推知lgan

n(n 1)2

lganlgan 1

lgan

lgan 1lgan 2

八、数学归纳法

lga3lga23n 1 n! 2 lga1 lg5lga2lga1

，从而an 5

3n 1 n! 2

n(n 1)2

。

例 已知数列{an}满足an 1 an

8(n 1)8

，求数列{an}的通项公式。 ，a 122

(2n 1)(2n 3)9

解：由an 1 an

88(n 1)

及，得。。。。。。 a 1

9(2n 1)2(2n 3)2

(2n 1)2 1

由此可猜测an ，往下用数学归纳法证明这个结论。 2

(2n 1)(2 1 1)2 18

（1）当n 1时，a1 ，所以等式成立。 2

(2 1 1)9

(2k 1)2 1

（2）假设当n k时等式成立，即ak ，则当n k 1时， 2

(2k 1)

ak 1 ak

8(k 1)

。。。。。。 22

(2k 1)(2k 3)

由此可知，当n k 1时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何n N都成立。

*

四、数列求和的基本方法和技巧

一、利用常用求和公式求和 1、

等差数列求和公式：Sn

n(a1 an)n(n 1)

na1 d 22

(q 1) na1

n

2、等比数列求和公式：Sn a1(1 q)a1 anq

(q 1)

1 q 1 q

前n个正整数的和 1 2 3 n

n(n 1)

2

n(n 1)(2n 1)

6n(n 1)2

] 前n个正整数的立方和 13 23 33 n3 [2

公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n的值；

前n个正整数的平方和 12 22 32 n2

（2）等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类。

例 已知log3x

123n

，求x x x x 的前n项和. log23

Sn

的最大值.

(n 32)Sn 1

例 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)

∴ f(n)

11Sn1

＝ ＝＝

64850(n 32)Sn 1

n 34 (n )2 50

nn18

，即n＝8时，f(n)max

50 ∴ 当 n

二、错位相减法求和

这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比

q；

然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。

1n 1

例：（2009全国卷Ⅰ理）在数列{an}中，a1 1,an 1 (1 )an n

n2

a

（I）设bn n，求数列{bn}的通项公式（II）求数列{an}的前n项和Sn

n

aa11

分析：（I）由已知有n 1 n n bn 1 bn n

n 1n22

1*

利用累差迭加即可求出数列{bn}的通项公式: bn 2 n 1(n N)

2

nnn

nkk

（II）由（I）知an 2n n 1, Sn= (2k k 1) (2k) k 1

22k 1k 1k 12

nkkn 2

而 (2k) n(n 1),又 k 1是一个典型的错位相减法模型，易得 k 1 4 n 1

2k 12k 1k 12n

n

Sn=n(n 1)

三、

n 2

4 2n 1

倒序相加法求和

这是推导等差数列 …… 此处隐藏：2791字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……