2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导

1 第一章 1.

2 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

A 级 基础巩固

一、选择题

1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( D )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 [解析] y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′

＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1，

∴y ′|x ＝1＝4．

2．曲线y ＝ln(x ＋2)在点P (－1,0)处的切线方程是( A )

A ．y ＝x ＋1

B ．y ＝－x ＋1

C ．y ＝2x ＋1

D ．y ＝－2x ＋1 [解析] ∵y ＝ln(x ＋2)，∴y ′＝

1x ＋2， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝－1＝1，

∴切线方程为y －0＝1×(x ＋1)，即y ＝x ＋1．

3．(2018·邵阳三模)已知函数f (x )＝f ′(－2)e x －x 2，则f ′(－2)＝( D )

A ．e 2e 2－1

B ．2－e 2

C ．e 2－14e 2

D ．4e 2e 2－1 [解析] f ′(x )＝f ′(－2)e x －2x ；

∴f ′(－2)＝f ′(－2)·e －2－2·(－2)；

解得f ′(－2)＝4e 2e 2－1

． 故选D ．

4．(2018·揭阳一模)已知f (x )＝sin x －cos x ，实数α满足f ′(α)＝3f (α)，则tan2α＝( A )

A ．－43

B ．－34

C ．34

D ．43 [解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ；

∴f ′(α)＝cos α＋sin α；

2 又f ′(α)＝3f (α)；

∴cos α＋sin α＝3sin α－3cos α；

∴2cos α＝sin α；

∴tan α＝2；

∴tan2α＝2×21－22＝－43

． 故选A ．

5．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{

1f n }(n ∈N *)的前n 项和是( A )

A ．

n n ＋1 B ．n ＋2n ＋1 C ．n n －1

D ．n ＋1n [解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，

∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2

＋x ，

∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，

∴数列{1f n }(n ∈N *)的前n 项和为：

S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋ (1)

n ＋ ＝? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ??

??1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1

，故选A ． 6．(2018·邯郸高二检测)已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( B

)

[解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B ．

二、填空题

3 7．(2018·黄山一模)已知f (x )＝13

x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝1． [解析] 根据题意，f (x )＝13

x 3＋3xf ′(0)， 则其导数f ′(x )＝x 2

＋3f ′(0)，

令x ＝0可得：f ′(0)＝3f ′(0)，解可得f ′(0)＝0，

则f ′(x )＝x 2，

则有f ′(1)＝1，

故答案为1．

8．(2018·天津文，10)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为e ．

[解析] ∵ f (x )＝e x ln x ，

∴ f ′(x )＝e x ln x ＋e x x

， ∴ f ′(1)＝e ．

三、解答题

9．求下列函数的导数：

(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x

－1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x

． [解析] (1)∵y ＝x ? ????x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x

2， ∴y ′＝3x 2－2x

3． (2)∵y ＝(x ＋1)? ??

??1x －1＝－x 12＋x －12， ∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ?

????1＋1x ． (3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x

4 ＝? ????sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x

4 ＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14

cos x ， ∴y ′＝－14

sin x ．

4 (4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝＋x 21－x ＋－x 21－x

＝2＋2x 1－x ＝41－x －2， ∴y ′＝? ????41－x －2′＝－－x －x 2＝4

－x 2．

10．已知函数f (x )＝

ax －6x 2＋b

的图象在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数的解析式． [解析] 由于(－1，f (－1))在切线上，

∴－1＋2f (－1)＋5＝0，

∴f (－1)＝－2．∵f ′(x )＝a x 2＋b －2x ax －x 2＋b 2，

∴????? －a －61＋b ＝－2，a ＋b ＋－a －

＋b 2＝－12，

解得a ＝2，b ＝3(∵b ＋1≠0，∴b ＝－1舍去)．

故f (x )＝2x －6x 2＋3

． B 级 素养提升

一、选择题

1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( C )

A ．e －1

B ．－1

C ．－e －1

D ．－e [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，

∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x

， ∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e

，故选C ． 2．曲线y ＝x sin x 在点? ??

??－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( A )

A ．π22

B ．π2

5 C ．2π2 D ．12

(2＋π)2 [解析] 曲线y ＝x sin x 在点? ??

??－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的顶点为O (0,0)，A (π，0)，C (π，－π)，∴三角形面积为π22

． 二、填空题

3．(2018·太原高二检测)设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )

是奇函数，则φ＝π6

． [解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)

＝2sin ?

????3x ＋φ＋5π6． 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，

即0＝2sin ?

????φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )． 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6

． 4．(2018·南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )

＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝1＋1e

． [解析] f ′(ln x )＝1＋1x ；∴f ′(lne)＝1＋1e

； 即f ′(1)＝1＋1e ．故答案为1＋1e

． 三、解答题

5．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2

＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．

[解析] ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1．

又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．

故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e ．

∴b ＝0，d ＝0．∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1．

∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，

∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1．

∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1．∴a ＝52，c ＝－92

．