2018年华东交通大学理学院821数学分析考研冲刺狂背五套题

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2018年华东交通大学理学院821数学分析考研冲刺狂背五套题（一） (2)

2018年华东交通大学理学院821数学分析考研冲刺狂背五套题（二） (8)

2018年华东交通大学理学院821数学分析考研冲刺狂背五套题（三） (13)

2018年华东交通大学理学院821数学分析考研冲刺狂背五套题（四） (20)

2018年华东交通大学理学院821数学分析考研冲刺狂背五套题（五） (27)

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2018年华东交通大学理学院821数学分析考研冲刺狂背五套题（一）

说明：本套狂背五套题按照考研侧重点和出题难度，严格筛选提取了历年考试高频核心试题及重点题型，更突出针对性和实战性，适用于考研冲刺最后狂背。

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一、证明题

1． 设f 为[a ,b]上二阶可导函数,,并存在一点

使得

证明至少存在一

点

使得

【答案】因f （x ）在[a ,c]上满足拉格朗日中值定理,故存在

使

由得

.

同理,存在使.于是有

又因为在

上可导,由拉格朗日中值定理知,

存在

,使得

2． 证明:任一实系数奇次方程至少有一个实根.

【答案】设有一个奇次方程为,其中

,设

.令

则

由

知,

存在正数,

使得

.

由

知,

存在负数

,

使得

.于是,

与

异号.由根的存在定理知,f （x ）=0在

内至少有一个根.故任

一实系数奇次方程至少有一个实根.

二、解答题

3． 试将

按

的幂展开成幂级数. 【答案】设则

,

故

又

所以

由

即

可得x>0,所以

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第 3 页，共 33 页 4． 讨论函数

（1）在x=0点是否可导？

（2）是否存在x=0的一个邻域,使f 在该邻域内单调？

【答案】（1）

故f （x ）在x=0可导.

（2）当时,

对一切正整数k 有

,.因为,所以在x=0的任何邻域内都不单调.

5． 长10米的铁索下垂于矿井中,已知铁索每米的质量为8千克,问将此铁索提出地面需作多少功？

【答案】取铁索的一小段为微元,则有

,故

6． 求曲线

,所围平面图形（图）绕x 轴旋转所得立体的体积

.

图

【答案】

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7．

求指数,

使得曲线积分

’与路线无关,并求k.

【答案】设

,

,则

由

得

.这时

,所以积分与路径无关

,由于 I.

及

所以

8

． 设f （x ）在[a

,b]上连续,且有惟一最小值点x 0.若

.

【答案】假设则

在中可选取子列

,满足

由于这个子列有界,由致密性定理,可从它中再选取一个收敛子列,

仍记为

,使

.

显然

且

于是

,

这与最小值点的惟一性矛盾.

9．

应用幂级数性质求下列级数的和:

（1）

（2）

【答案】⑴设

则

所以

从而

（2）可求得

的收敛域为（﹣1,1],设