2.1.2离散型随机变量的分布列(一)

高二数学 选修2-3

武穴实验高中

伍晓初

【温故知新】1. 随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. 随机变量常用希腊字母X、Y、ξ、η等表示。

2、离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散 型随机变量。如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值， 这样的随机变量叫做连续型随机变量.

【温故知新】注1:随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。 注2:某些随机试验的结果不具备数量性质，但仍可 以用数量来表示它。 注3: 若 是随机变量，则

a b(其中a、b是常数)也是随机变量 .3、古典概型:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个基本事件出现的可能性相等。

m P( A) n

(m为A包含的基本事件的个

数，n为基本事件的总数)

【实例引入】在随机试验掷一枚骰子中，我们可以定义一个随机变量X ,

X 的值分别对应试验所得的点数.X 取每个值的概率分别是多少？

解：X的取值有1、2、3、4、5、6 1 1 1 则 P ( X 1) P ( X 2) P ( X 3) 列 成 表 的 形 式6 1 P ( X 4) 6 6 1 P ( X 5) 6

6 1 P ( X 6) 6

X P

11 6

21 6

31 6

41 6

51 61 6

6

⑴列出了随机变量 的所有取值.

⑵求出了 的每一个取值的概率.

分布列

【定义得出】定义:概率分布列(分布列)设离散型随机变量X可能取的值为 x1 , x2 , , xn X取每一个值xi (i=1,2,…,n) 的概率P ( X xi ) pi 则称表 … x X x x1 2

n

P

p1

p2

…

pn

为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列. 也可用 P(X=xi)= pi ,i=1,2,3 …n表示X的分布列. 思考:根据随机变量的意义与概率的性质，你能得出 分布列有什么性质？ 注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：

(1) pi 0, i 1,2, , n

( 2) p1 p2 pn 1

2.概率分布还经常用图象来表示.(这有点类似于函数)

2.概率分布还经常用图象来表示. 可以看出 ξ的取值范围 可以看出 X 的取值 p 是 , 5, 6 , 它取 范围是 {1,2,3,4,5,6}, 1, 2, 3, 4 0.2 它取每一个值的概 1 1 每一个值的概率都是 。 0.1 率都是 。 6O 1 2 3 4 5 6 7 8

X

6

1.离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机 变量所刻画的随机现象.2.函数可以用解析式、表格或图象表示，离散型随 机变量可以用分布列、等式或图象来表示.

【典型例题】例1. 某一射手射击所得环数ξ 的分布列如下: ξ P 40.02

50.04

60.06

70.09

80.28

90.29

100.22

求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率. 分析: “射击一次命中环数≥7”是指互斥事件 “ξ=7”, “ξ=8”, “ξ=9”, “ξ=10” 的和. 解: 根据射手射击所

得环数ξ 的分布列,有 P(ξ=7)=0.09,P(ξ=8)=0.28, P(ξ=9)=0.29, P(ξ=10)=0.22, 所求的概率为 P(ξ≥7)=0.09+ 0.28+ 0.29+ 0.22= 0.88

例2、随机变量X的分布列为

X P

-10.16

0

1

2

30.3

a/10

a2

a/5

(1)求常数a;(2)求P(1<X<4) 解:(1)由离散型随机变量的分布列的性质有

a a 2 0.16 a 0.3 1 10 59 3 a (舍)或 a 解得： 10 5(2)P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)=0.12+0.3=0.42

【课堂练习】1、下列A、B、C、D四个表，其中能成为随机变量 的 分布列的是(B )

A

P

00.6

10.3

B

P

00.9025

10.095

20.0025

C

0 1 2 … n2 1 41 … 1 2 n 1 8

D

21 3

11 3i

21 3

P 1

P

2、设随机变量 则 的值为

a

1 i 1,2,3 的分布列为 P( i) a , 3 27 . 13

例3.一个口袋里有5只球, 编号为1, 2, 3, 4, 5, 在袋中同时 取出3只,以X 表示取出的3个球中的最小号码, 试写出X 的分布列.

解: 随机变量X的可取值为 1,2,3. 当X=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它两 只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故有 2 C4 注:在写出X的分布列 P X 1 2 3 / 5; C5 后，要及时检查所有 3 1 同理可得 P(X=2)= 10;P(X=3)= 10 的概率之和是否为1. 3 因此,X 的分布列如下表所示 X 1 2 P 3/5 3/10 1/10 练习：将一枚骰子掷2次,求 随机变量两次掷出的最大点 数X的概率分布. X 1 P1 36

23 36

35 36

4

5

6

7 9 11 36 36 36

求离散型随机变量的概率分布的方法步骤：1、找出随机变量ξ的所有可能的取值 xi (i 1, 2, ); 2、求出各取值的概率 3、列成表格。

P( xi ) pi ;

例4 .一盒中放有大小相同的红, 绿, 黄色三种小球， 红球数是绿球数的两倍，黄球数是绿球数的一半， 现从中随机取出一球，若取出红球得1分, 取出 绿球得0分, 取出黄球得 1分, 试写出从该盒内 随机取出一球所得分数ξ的分布列.

解：随机变量X的可取值为 1,0,-1. 设黄球的个数为n,则绿球的个数为2n, 红球的个数为4n,盒中球的个数为7n,所以 n 1 2n 2 4n 4 P ξ 1 P ξ 0 P ξ 1 7n 77n 7

7n

7

所以从该盒中随机取出一 球所得分数ξ的分布列为：

ξ P

1

0

-1

4 7

2 7

1 7

【课堂练习】3、设随机变量的分布列如下：

P

1K

22K

34K

……

n

2

n 1

K

求常数K。4、袋中有7个球，其中3个黑球，4个红球，从袋中 任取个3球，求取出的红球数 的分布列。

【典型例题】 P

已知随机变量 的分布列如下： 例5:

-21 12

-11 41 2

01 3

11 12

21 6

31 12

分别求出随机变量⑴ 1 ;⑵ 2 2 的分布列.

⑴由 1 可得 1 的取值为 1 、 解：且相应取

值的概率没有变化 ∴ 1 的分布列为：

1 2

1 3 1 、0、 、1、 2 2 2

1

-11 12

1 4

1 2

01 3

1 21 12

11 6

3 21 12

P

【典型例题】已知随机变量 的分布列如下：

P

-21 12

-11 41 2

01 3

11 12

21 6

31 12

分别求出随机变量⑴ 1 ;⑵ 2 2 的分布列.

解：⑵由 2 2 可得 2 的取值为0、1、4、9P ( 2 0) P ( 0)

P ( 2 4) P ( 2) P ( 2) 1 1 1

1 3

P ( 2 1) P ( 1) P ( 1) 1 12

1 1 1 4 12 3

P ( 2 9) P ( 3) ∴ 2 的分布列为：

12

6

4

2

01 3

11 3

41 4

91 12

P

思考1.一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中 同时取出3只,以ξ表示取出的3个球中的最小号码,试 写出ξ的分布列.

思考2.将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布. (1)两次掷出的最大点数ξ; (2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差η .

1、分布列的表示 (1)用等式P( xi ) pi (i 1,2, n)

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