高中数学解题思想方法技巧

来源：网络收集时间：2026-08-29

导读：高中数学解题思想方法技巧值得拥有的资料是来自平时学习积累总结的有问题的地方肯定有的还请大家批评指正！第34计参数开门宾主谦恭 ●计名释义 参数顾名思义是种参考数.供谁参考供主变量参考.因此参数对于主元是种宾主关系他为主元服务受

高中数学解题思想方法技巧

值得拥有的资料
是来自平时学习积累总结的
有问题的地方肯定有的
还请大家批评指正！

第34计参数开门宾主谦恭
●计名释义
　　参数
顾名思义
是种"参考数".供谁参考
供主变量参考.因此
参数对于主元
是种宾主关系
他为主元服务
受主元重用.
　　在数学解题的过程中
反客为主
由参数唱主角戏的场景也异常精彩.
　　有趣的是
"参数何在
选谁作参"的问题又成了解题破门的首要问题.此时
你有两种选择
一是参数就立足在面前
由你认定；二是参数根本不在
要你"无中生有".
●典例示范
【例1】 P、Q、M、N四点都在椭圆x2+=1上
F为椭圆在y轴正半轴上的焦点
已知与共线
与共线
且·＝0
求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
【分析】四边形"没有"面积公式
因此难以用某边长为参数
建立面积函数式.
幸好
它有两条互相垂直的对角线PQ和MN
使得四边形面积可用它们的乘积来表示
然而
它们要与已知椭圆找到关系
还需要一个参数k
并找到PQ
MN对k的依赖式.这就要"无中生有"了.
【解答】如图
由条件知MN和PQ
是椭圆的两条弦
相交于焦点F（0
1）

且PQ⊥MN
直线PQ、NM中至少有一条
存在斜率
不妨设PQ的斜率为k.
【插语】题设中没有这个k

因此是"无中生有"式的参数.
我们其所以看中它
是认定它
不仅能表示|PQ|= f1(k)
还能表示|MN|= f2(k). 例1题解图
【续解】又PQ过点F（0
1）
故PQ方程为y=kx+1
将此式代入椭圆方程得（2+k2)x2+2kx-1=0
设P、Q两点的坐标分别为（x1
y1)
(x2
y2)
则
x1=

从而｜PQ｜2＝(x1-x2)2+(y1-y2)2=, 亦即|PQ|=.
【插语】无论在椭圆方程中
还是P
Q
M
N的坐标中
x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关系|PQ|=f1(k)=标志着主宾易位
问题已经发生了转程.
【续解】 (ⅰ)当k≠0时
MN的斜率为-
同上可推得

｜MN｜=,
故四边形S＝|PQ|·|MN|=.
令u=k2+
得S=.
因为u=k2+≥2
当k=±1时
u=2
S=
且S是以u为自变量的增函数
所以
≤S<2.
【插语】以上为本题解答的主干
以下k=0时情况
只是一个小小的补充
以显完善之美.其实
以"不失一般性"为由
设"k≠0"为代表解答亦可.这时
可省去下边的话.
【续解】 (ⅱ)当k=0时
MN为椭圆长轴
｜MN｜＝2
|PQ|=
S=|PQ|·|MN|=2.
综合(ⅰ)(ⅱ)知
四边形PMQN面积的最大值为2
最小值
为.
【点评】参数k将F(x
y)=0的方程转化为关于k的函数
达到"宾主融融"的和谐境界.参数成为解题化归中的一个重要的角色
有时在"反客为主"中成为主角.
【例2】对于a∈［-1,1］,求使不等式恒成立的x的取值范围

高中数学解题思想方法技巧

.
【分析】本题化指数不等式为整式不等式是不难的
问题是下一步应当怎样走！你是以x为主
讨论二次不等式？还是以a为主
讨论一次不等式？其难易之分是显而易见的.
【解答】 y=为R上的减函数
∴由原不等式得：x2+ax>2x+a+1.
即a(x-1)+(x2-2x-1)>0当a∈［-1
1］时恒成立.
令f (a)=a(x-1)+(x2-2x-1).
只须(-∞,-1)∪(3,+∞)即为所求.【例3】求函数y=的最大值与最小值.
【解答一】设tan=t
则y=
即t2(y-3)-2t+3y-3=0 ①
∵t=tan∈R, ∴关于t的方程①必有实数根, ∴ Δ= 4-4·3(y-3)(y-1)≥0.
即3y2-12y+8≤0
解得：2-≤y≤2+.
即ymax =2+
ymin =2-.
【解答二】原式变形：sin x-y cos x=2y-3
sin (x+φ)=2y-3.
∵ |sin (x+φ)|≤1
∴≤|2y-3|.
平方化简得：3y2-12y+8≤0.(下略)
【点评】本例中y是x的函数
而且是由三角函数与有理分式复合而成的函数,
按常法应是由自变量x的讨论确定函数的值域
可是本例的两种解法都是"反客为主"
或
通过转化为关于t的方程必有实数解
或通过正弦函数的有界性去直接处理函数的值域
理
由是:这样解法简单
而且同样能达到目的.
【例4】若cos2θ+2m sinθ-2m-2<0恒成立
试求实数m的取值范围.
【解答】反客为主
不看成关于sinθ的二次式
而看成关于m的一次式.
原不等式即：2m(sinθ-1)<1+sin2θ,
如sinθ=1
则0<1恒成立
此时m∈R.
如sinθ≠1
∵sinθ∈［-1,1］
只能sinθ∈［-1,1)
于是sinθ-1<0.
∴2m>2-
∵ (1-sinθ)+≥2.
当且仅当1- sinθ=
即sinθ=1-时
=2,
∴=2-2.
为使2m>恒成立,只需2m>2-2
∴m>1-.
综合得：所求m的取值范围为：m∈(1-
+∞).
【例5】已知动点P为双曲线=1的两个焦点
F1
F2的距离之和为定值
且cos∠F1PF2的最小值为.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若已知D(0,3)
M、N在动点P的轨迹上
且=λ
求实数λ的取值范围.
【思考】 (1)动点的轨迹为椭圆

当P在椭圆上时
由cos∠F1PF2=<0

知∠F1PF2必为钝角且为最大角

则P应为短轴端点(须证明),据此可
求出椭圆方程.
(2)M、N在椭⊙上,=λ时,
与必共线,可用设参、消参例5题图
的方式确定λ的范围.
【解答】 (1)设P(x,y)为轨迹上一点
命|PF1|= r1
|PF2|= r2
∵r1+r2=2a为定值
且
F1(,0)
F2(
0)为定点.
∴点P的轨迹为椭圆
已知(cos∠F1PF2)min=.
而cos∠F1PF2=
这里>0
且r1r2≤=a2
∴≥
从而
cos∠F1PF2≥-1=1-,
当且仅当r1=r2
即P为短轴端点时,1-=
∴a2=9
∵c2=5
∴b2=4.
∴所求动点P的轨迹方程为：=1.
(2)由(1)知点D(0,3)在椭圆外
设M(m
s)
N(n
t)在椭圆上.
∵=λ
即(m
s-3)=λ(n
t-3),
∴ ∴
消去n2得：
化简得：(13λ-5)(λ-1)=6tλ(λ

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-1)
如λ=1
则=
M
N重合于一点
且为椭圆与直线DM的切点.
如λ≠1
有：t=
∵|t|≤2
-2≤≤2
解得λ∈［
5］.
【点评】设参、消参及参数的讨论
历来是高考的重点和难点之一
特别当参数较多时
往往感到不得要领或无从下 …… 此处隐藏：2524字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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