6-1 球坐标系下亥姆霍斯方程分离变量

数学物理方法中偏微分方程求解

第6章 球坐标系下的分离变量法 章5.1 球坐标系下亥姆霍斯方程 和拉普拉斯方程 5.2 勒让德方程的求解

数学物理方法中偏微分方程求解

第5章 柱坐标系下的分离变量法 章5.1 极坐标下的拉普拉斯方程 5.2 圆柱坐标系下的亥姆霍斯方程 5.3 贝塞尔方程的求解 5.4 贝塞尔函数的性质 5.5 贝塞尔方程的特征值问题 5.6 综合应用

数学物理方法中偏微分方程求解

6.1 球坐标系下的 亥姆霍斯方程 和拉普拉斯方程在球坐标系下, 在球坐标系下,1 2 1 1 2 = 2 (r )+ 2 (sin θ )+ 2 2 r r r sin θ 2 r r sin θ θ θ2

球坐标系下的亥姆霍斯方程为

2u ( r , θ , ) + λ u (r , θ , ) = 0设:

u (r , θ , ) = R (r ) S (θ , )

数学物理方法中偏微分方程求解

1 d 2 dR (r ) R(r ) S (θ , ) (r ) S (θ , ) + 2 (sin θ ) 2 r dr dr r sin θ θ θR(r ) 2 S (θ , ) + 2 2 + λ R(r ) S (θ , ) = 0 2 r sin θ 1 d 2 dR (r ) 1 1 S (θ , ) (r )+ [ (sin θ ) R (r ) dr dr S (θ , ) sin θ θ θ

r2 R(r ) S (θ , )

1 2 S (θ , ) + 2 ] + λr 2 = 0 sin θ 21 1 S (θ , ) 1 2 S (θ , ) [ (sin θ )+ 2 ] = 2 θ S (θ , ) sin θ θ sin θ

数学物理方法中偏微分方程求解

两个常微分方程: 两个常微分方程:

1 d 2 dR(r ) (r ) + λr 2 = R(r ) dr dr1 S (θ , ) 1 2 S (θ , ) (sin θ )+ 2 + S θ , )=0 ( 2 sin θ θ θ sin θ

进一步, 进一步,设

S (θ , ) = Θ(θ )Φ ( )

sin θ d d Θ(θ ) 1 d 2 Φ ( ) (sin θ )+ + sin 2 θ =0 Θ(θ ) dθ dθ Φ( ) 2

数学物理方法中偏微分方程求解

1 d 2 Φ( ) = m2 Φ( ) 2

得两个常微分方程

{

{

Φ′′( ) + m 2 Φ ( ) = 0d d Θ(θ ) m2 (sin θ ) + sin θ ( )Θ(θ )=0 dθ dθ sin θ

d 2 dR (r ) (r + (λ r 2 ) R ( r ) = 0 dr dr

亥姆霍斯方程就是拉普拉斯方程, 注意到当 λ = 0 时,亥姆霍斯方程就是拉普拉斯方程, 就得拉普拉斯方程的分离结果. 因而, 因而,只要让 λ = 0 就得拉普拉斯方程的分离结果.

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1) )

Φ′′( ) + m 2 Φ ( ) = 0

1维的亥姆霍斯方程 维的亥姆霍斯方程

Φ ( ) = Aeim + Be im= C cos m + D sin m

2) )

d d Θ(θ ) m2 (sin θ ) + sin θ ( )Θ(θ )=0 dθ dθ sin θ

新方程

作变换: 作变换:

x = cos θ

y ( x ) = Θ(θ ) = Θ(arccos x )

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d dy m2 (1 x 2 ) + ( )y = 0 2 dx dx 1 xm2 (1 x ) y′′( x) 2 xy′( x) + ( ) y ( x) = 0 2 1 x2

连带勒让德( 连带勒让德(Legendre)方程 )

m=0d dy (1 x 2 ) + y = 0 dx dx

勒让德方程

(1 x 2 ) y′′( x) 2 xy′( x) + y ( x) = 0

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d 2 dR (r ) (r + (λ r 2 ) R ( r ) = 0 3) ) dr dr当 = l (l + 1) ( l 为整数)时 为整数)d 2 dR (r ) r + λ r 2 l (l + 1) R (r ) = 0 dr dr

新方程

l 阶的球贝塞尔方程(1) λ = 0 )

d 2 dR ( r ) r dr l (l + 1) R ( r ) = 0 dr t

令

r=e

?

5分钟 分钟

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dR dR dt 1 dR = = dr dt dr r dt

d 2R 1 dR 1 d 2 R = 2 + 2 2 2 dr r dt r dt原方程d 2 R(t ) dR(t ) + l (l + 1) R (t ) = 0 2 dt dt

R(t ) = Celt + De (l +1)t = Cr l + Dr (l +1)t

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(2) )

λ≠0x y( x) = R(r ) = R( ) k

令 x = kr 原方程

d 2 dR (r ) r + λ r 2 l (l + 1) R (r ) = 0 dr dr

或 作比较

d

2 dy x + x 2 l (l + 1) y = 0 dx dx 2 l (l + 1) y′′( x) + y ′( x) + 1 2 y ( x) = 0 x x

m2 1 y′′( x) + y′( x) + 1 2 y ( x) = 0 x x

m阶的贝塞尔方程 阶的贝塞尔方程

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进一步作函数代换

y ( x) = x y ( x)

1 2

1 (l + ) 2 1 2 y′′( x) + y′( x) + 1 y ( x) = 0 2 x x 1 (l + ) 阶(半奇数阶 )的贝塞尔方程 2

y ( x) = CJ从而

1 l+ 2

( x) + DY 1 ( x)l+ 2

y ( x) = x y ( x) = Cx J

1 2

1 2

1 l+ 2

( x) + Dx Y 1 ( x)l+ 2

1 2