高考专题训练四 导数与积分的概念及运算、导数的应用

高考专题训练四 导数与积分的概念及运算、导数的应用

班级________ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．

1．(2011·全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )

1

A. 32C. 3解析：

1B. 2D．1

y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2，在点(0,2)处的切线为：y－2＝－2x，即2x＋y－2＝0

y＝x由 2x＋y－2＝0

2 x＝ 3

得

2 y＝3

22

，A 33 ，

121

S△ABO＝.

233答案：A

2．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )

A．(－1,1) C．(－∞，－1)

B．(－1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

解析：f(x)>2x＋4，即f(x)－2x－4>0.

构造F(x)＝f(x)－2x－4，F′(x)＝f′(x)－2>0.

F(x)在R上为增函数，而F(－1)＝f(－1)－2x(－1)－4＝0.x∈(－1，＋∞)，F(x)>F(－1)，∴x>－1.

答案：B

3．(2011·烟台市高三年级诊断性检测)设a＝ π(sinx＋cosx)dx，

0

16

则(ax－)的二项展开式中含x2的系数是( )

x

A．192 C．96

0

B．－192 D．－96

解析：因为a＝ π(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)| π0＝ 16(－cosπ＋sinπ)－(－cos0＋sin0)＝2，所以(ax－＝

x

1 6rrr6－r6－r x－，则可知其通项Tr＋1＝(－1)C62x－＝(－

22x

r6－r3－r

1)rC62x，令3－r＝2 r＝1，所以展开式中含x2项的系数是(－

r6－r16－11)rC62＝(－1)1C62＝－192，故答案选B.

答案：B

17

4．(2011·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝x3－x2－x，则f(－

22a2)与f(4)的大小关系为( )

A．f(－a2)≤f(4) B．f(－a2)<f(4) C．f(－a2)≥f(4)

D．f(－a2)与f(4)的大小关系不确定

1372

解析：∵f(x)＝－x－，

2237

∴f′(x)＝x2－2x－.

22

17

由f′(x)＝－7)(x＋1)＝0得x＝－1或x＝23当x<－1时，f(x)为增函数； 7

当－1<x<f(x)为减函数；

37

当时，f(x)为增函数，

3

计算可得f(－1)＝f(4)＝2，又－a2≤0，由图象可知 f(－a2)≤f(4)． 答案：A

5．(2011·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝x＋bx－3x＋1(b∈R)在x＝x1和x＝x2(x1>x2)处都取得极值，且x1－x2＝2，则下列说法正确的是( )

A．f(x)在x＝x1处取极小值，在x＝x2处取极小值 B．f(x)在x＝x1处取极小值，在x＝x2处取极大值 C．f(x)在x＝x1处取极大值，在x＝x2处取极小值 D．f(x)在x＝x1处取极大值，在x＝x2处取极大值

解析：因为f(x)＝x3＋bx2－3x＋1，所以f′(x)＝3x2＋2bx－3，由题意可知f′(x1)＝0，f′(x2)＝0，即x1，x2为方程3x2＋2bx－3＝0

4b＋36的两根，所以x1－x2＝ x1＋x2 －4x1x2＝x1－x2＝2，

3

32

得b＝0.从而f(x)＝x3－3x＋1，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，由于x1>x2，所以x1＝1，x2＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，所以f(x)在x1＝1处取极小值，极小值为f(1)＝－1，在x2＝－1处取极大值，极大值为f(－1)＝3.

答案：B

π

6．(2011·合肥市高三第三次教学质量检测)对任意x1，x2∈(0，

21＋sinx11＋sinx2

x2>x1，y1＝，y2＝，则( )

x1x2

A．y1＝y2 B．y1>y2 C．y1<y2

D．y1，y2的大小关系不能确定

1＋sinxxcosx－sinx－1

解析：设f(x)＝x，则f′(x)＝

x

cosx x－tanx －1π＝当x∈(0，)时，x－tanx<0，故f′(x)<0，

x2π

所以f(x)在(0，)上是减函数，故由x2>x1得y2<y1.

2

答案：B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．

7．(2011·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．

解析：由f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)＝0，解得x1＝0，x2＝2 当x<0时，f′(x)>0，当0<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0. ∴当x＝2时，f(x)有极小值是f(2)＝23－3×22＋1＝－3. 答案：2

8．(2011·潍坊市高三第一次教学质量检测)若等比数列{an}的首项2

为a4＝ 4(1＋2x)dx，则公比等于________． 3

1

解析： 4(1＋2x)dx＝(x＋x2)|41＝(4＋16)－(1＋1)＝18，即a4＝18

1

23＝q q＝3. 3

答案：3

9．(2009·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若 1

f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.

解析：因为 1f(x)dx＝ 1 (3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，

-1

-1

-1

1所以2(3a＋2a＋1)＝4 a＝－1或a＝3

2

1

答案：－1或3

1

10．(2009·山东省高考调研卷)曲线y＝2x＋2e2x，直线x＝1，

xx＝e和x轴所围成的区域的面积是________．

112e

解析： e(2x＋2e2x)dx＝ ex＋ e2xdx＋ e2e2xdx＝lnx|e1＋x|1

x x

1

1

1

1

2e

＋e2x|e1＝e.

答案：e2e

三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

x

11．(12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝(x－k)2e k (1)求f(x)的单调区间；

1

(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤ek的取值范围． x

1

解：(1)f′(x)＝(x2－k2) e k

k令f′(x)＝0，得x＝±k

当k>0时，f(x)与f′(x)的情况如下：

区间是(－k，k)．

当k<0时，f(x)与f′(x)的情况如下：

区间是(k，－k)．

k+1

1k(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e >e，所以不会有 x∈(0，＋1

∞)，f(x)≤e

4k2

当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝e 14k211

所以 x∈(0，＋∞)，f(x)≤e等价于f(－k)＝e≤e.解得－

2≤k<0.

1 1

故当 x∈(0，＋∞)，f(x)≤ek的取值范围是－2，0 .

alnxb

12．(13分)(2011·课标)已知函数f(x)＝y＝f(x)在

x＋1x点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.

(1)求a，b的值；

lnxk

(2)如果当x>0，且x≠1时，f(x)>k的取值范围．

x－1x

解：(1)f′(x)＝

1＋x a lnx

x

x＋1 b

－x

1

由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－(1,1)，

2

f 1 ＝1，故 1

f′ 1 ＝－ 2

b＝1，

，即 a1

b＝－. 22

解得a＝1，b＝1. (2)由(1)知f(x)＝

lnx1

＋ x＋1x

lnxk k－1 x2－1 1

. f(x)－ x－1x ＝2lnx＋x 1－x

k－1 x2－1

考虑函数h(x)＝2lnx＋，

x k－1 x2＋1 ＋2x

则h′(x)＝.

xk x2＋1 － x－1 2

(ⅰ)设k≤0，则h′(x)＝知，当x≠1时，

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