控制系统计算机仿真-基于状态空间的设计

本文介绍了控制系统的计算机仿真状态空间设计的内容

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控制系统计算机仿真Lirui@

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线性系统状态空间分析The Computer Simulation of Control System

一、线性系统的状态空间描述

x= Ax+ Bu y= Cx+ Du其中，x=[x1,x2,….,xn]’表示维状态向量； y=[y1,y2,….,yn]’表示维输出向量； u=[u1,u2,….,un]’表示维输出向量。UESTC

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例状态空间系统描述例1考察如图所示的RLC电路,电路各组成元件的参数值为已知,输入变量取为电压源ui(t),输出变量取为电压 u0(t),试建立系统的状态空间表达式。i(t)ui (t) R

L+ C u0(t)

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解第一步：确定状态变量根据电路理论可知，此RLC电路有2个独立的储能元件L和C,因此可取电容C端电压U0和流经电感L的电流i(t)作为电路的两个状态变量，分别记为x1和x2。第二步：列出微分方程根据基尔霍夫电压定律和R、L、C元件的电压电流关系，可得 dx2 (t ) L dt+ Rx2 (t )+ x1 (t )= ui (t ) x (t )= C dx1 (t ) 2 dt

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第三步：转化为状态变量的一阶微分方程组：

1 x1= C x2 R 1 1 x2= x1 x2+ ui (t ) L L L y= xiUESTC

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第四步：写成向量矩阵形式,即状态空间表达式。1 0 0 C X= 1 X+ 1 ui (t ) L R L L Y=[1 0] X

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对于同一物理系统，动态方程的建立，在状态变量的选取方面有很大的不同，导致求得的系统状态方程也不尽相同。然而，状态变量的个数确实相同的。因此，各种不同的动态方程间又有一定的联系，这种联系就是变量间的线性变化。

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对于系统

x= Ax+ Bu y= Cx+ Du

令

x= Tz

Tz= ATz+ Bu有， y= CTz+ Du令 A= T 1 AT, B= T 1B, C= CT z= T 1 ATz+ T 1Bu则 y= CTz+ Du

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二、状态空间的标准型 2.1对角标准型(A有n个不相等的实根)

X= A′X+ B′U Y= C′X+ D′U其中′= M 1 AM= diag[λ1,λ2,....λn], B′= M 1B, C′= CM Aλi为A的特征根;M为A的特征矩阵.UESTC

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2.2约当标准型(系统有k个mi重特征值λi)其约当标准型为：X= JX+ BU Y= CX+ DU其中，J为约当矩阵，即J=T-1AT=diag[J1 J2…. Jk].

B= T 1B, C= CTJi为mi重特征根λi所对应的约当块，即λi Ji= 0 1 0 1λi ( m×m ) i i

λi

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m

将系统直接转化为对角型的函数canon() Matlab提供了函数 canon()可以将系统直接转化为对角型，其常用的调用格式为：[As,Bs,Cs,Ds,Ts]=canon(A,B,C,D,’mod’)其中，A,B,C和D是变化前系统的状态空间形式，参数’mod’表示转化为对角型，As,Bs,Cs和Ds是变换后的对角型，Ts表示所作的线性变换。将系统直接转化为对角型的函数jordan()调用格式为：[T,J]=jordan(A),其中J=T-1ATUESTC

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例2已知系统的状态空间模型为 0 X=0 6 Y=[1 1 0 1 0 1 X+ 0 U 0 11 6 0] X 1

求系统的对角标准型。

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解程序代码如下： A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6];B=[1;0;0];C=[1 1 0];D=0;[As,Bs,Cs,Ds,Ts]=canon(A,B,C,D,'mod')运行结果如下：

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As= -3.0000 0 -2.0000 0

0 0

0

0 -1.0000

Bs= -7.7621 -14.6969 8.6168 Cs= 0.2577 -0.2041 0.0000;Ds= 0

Ts= -7.7621 -11.6431 -3.8810 -14.6969 -19.5959 -4.8990 8.6168 7.1807 1.4361UESTC

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由运算结果可知系统的对角标准型为： 1 0 0 5.1962 X= 0 2 0 X+ 13.7477 U 0 0 3 9.5394 Y=[0 0.2182 3] X

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例3已知系统的传递函数模型为

2s+ 1 2 s+ 5s+ 3 G( s)= 3, 3 2 s+ 7 s+ 14 s+ 8 ( s 1)2

试分别求系统的约当标准型。

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解程序如下 num1=[2,1];den1=[1,7,14,8];[A,B,C,D]=tf2ss(num1,den1);[V,J]=jordan(A) V1=inv(V) B1=V1*B

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运行结果如下 A1= 0 0 B1= 1 1 1UESTC

-4.0000 -2.0000 0

0 0

0

-1.0000

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同理可得， A2= 1.0000 0 0 B2= 2.0000 10.0000 C2= 1 D2= 0 1 1.0000 0 0 0 0

1.0000

9.0000 1UESTC