存在与任意性问题分类解析锡东

存在与任意性问题分类解析

【考情概要】

全称量词、特称量词以及全称命题和特称命题在近几年新课标高考卷和模拟卷中频频亮相成为高考的热点问题。特别是全称量词任意和特称量词存在与函数情投意合风火情深，火借风势、风助火威，大有逾演逾烈之势。两种量词插足，使得数学问题意深难懂神秘莫测，问题显得更加扑朔迷离难度大增，同时题目也因此显得富有变化和新意。解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还数学问题本来面目，本节课通过典型题目分类解析供参考。 【学习过程】 一、数学建构

【引例】若命题“ x 0, ,使得lnx ax 0”是假命题，则实数a的范围是 解题反思：

1、数学方法： 2、经验总结： 3、类似问题：（假设函数f x 、g x 在给定范围内都存在最大与最小值）

（1） x1 D1, x2 D2,使f(x1) g(x2)，等价于（2） x1 D1, x2 D2,使f(x1) g(x2)，等价于（3） x1,x2 D，使f(x1) g(x2)，等价于（4） x1 D1, x2 D2,使f(x1) g(x2)，等价于 （5）定义域内任意实数x1，x2，x3，不等式f(x1) f(x2) f(x3)恒成立，

等价于 （6）定义域内任意实数x1，x2，不等式f(x1) f(x2) a恒成立，

等价于 （7）已知函数f x a sin(x

3

)，若存在实数x1，x2，满足f x1 f x2 1，

等价于 （8）已知函数f x x 2ax a，对 x 0,1 ，不等式f x 0恒成立，

2

2

等价于

二、数学应用

*

1、对任意的n N，不等式 1 a

n

1

1 0恒成立，则a的范围是n3

2、若关于x的不等式2x ax 1ln

x

2

a

0恒成立，则实数a的取值范围是x

1

3、已知函数f x ,x 1,3 ，若对 x1 1,3 ， 唯一的x2 1,3 ，使得

2

f x1 f x2 a，则a的取值范围是

4、若函数

f(x) x 1 alnx(a 0)对任意x1,x2 (0,1]，都有

|f(x1) f(x2)| 4|

11

|，实数a的范围是 x1x2

5、（2009浙江高22）已知函数f(x) x3 (k2 k 1)x2 5x 2，g(x) k2x2 kx 1，其中k R．

（1）设函数p(x) f(x) g(x)．若p(x)在(0,3)上存在单调减区间，求k的取值范围； ．．．．．．．

(2)设函数q(x)

g(x),x 0,

是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一非零

f(x),x 0.

实数x2（x2 x1），使得q x2 q x1 成立？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

【课后作业】

x

1、若存在正数x使2(x-a)<1成立,则a 的取值范围是a2

a 1对一切正实数x成立,则常数a的取值范围为________ 2、若9x x

3、已知函数f x lnx 为

12

ax 2x a 0 存在单调递减区间，则实数a的取值范围 2

11

4、|x a| 对一切x 0恒成立，则a的取值范围是x25、若函数f x ax sin(x

3

)图像上存在两条切线互相垂直，则a的取值范围是6、记定义在R上的函数y=f(x)的导函数为f′(x).如果存在x0∈[a,b],使得f(b)-f(a)=f′(x0)(b-a)成立,则称x0为函数f(x)在区间[a,b]上的“中值点”.那么函数f(x)=x3-3x在区间[-2,2]上“中值点”的个数为_____ ___

x2y2

7、已知椭圆C：2 2 1 a b 0 和圆O：x2 y2 b2，若C上存在点P，使得

ab

过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足 APB 60，则椭圆C的离心率的范围为

8、函数f(x) x2,g(x) x2 ax 1，若对 x1 1,3 , x2 1,2 ,f(x1) g(x2)，则实数a的取值范围

9、已知函数f x x log2 x 1 函数g x asin

6

x 2a 2，其中a 0．若存在

x1,x2 0,1 ，使得f x1 g x2 成立，则实数a的取值范围是

10、设曲线y ax 1 e在点A x0,y1 处的切线为l1，曲线y 1 x e在点B x0,y2

x

x

处的切线为l2，若存在x0 0, ，使得l1 l2，则实数a的取值范围是2

2

xx

11、已知a

1 对一切非负实数x恒成立，则a的

2a

3

最大值为

12、设函数f(x) lnx的定义域为 M, ，且M 0，对于任意a，b，c (M, )，若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f(a)，f(b)，f(c)也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为

t 1]上总存在两实13、若函数f(x) ax2 20x 14(a 0)对任意实数t，在闭区间[t 1，

数x1、x2，使得|f(x1) f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为

2

14、正项数列{an}的前项和sn满足:sn (n2 n 1)sn (n2 n) 0

(1)求数列{an}的通项公式an； (2) 令bn

n 1*

,数列{bn }的前n项和为Tn，若对于任意的n N,都有22

n 2an

Tn m，求m的取值范围；

（3）若{cn }是等差数列，对任意n N,都有cn

*

sn

，求a的值。 n a