山东高考文科数学07~11年分类解析立体几何(2)

8

11·19.（本小题满分12分）

如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，D1D 平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，

AB=2AD，AD=A1B1， BAD=60°

（Ⅰ）证明：AA1 BD；

A1D1

1 B1

（Ⅱ）证明：CC1∥平面A1BD.

【解析】考查空间线面的垂直、平行关系，容易题。

A

C

B

（Ⅰ）证明：因为AB=2AD，所以设AD=a,则AB=2a,又因为 BAD=60°,所以在 ABD中,由余弦定理得：BD2 (2a)2 a2 2a 2a cos60 3a2,所以

BD=AD BD

2

2

,所以

AB,故BD⊥AD,又因为

2

D1D 平面ABCD，所以D1D BD,又因为AD D1D D, 所以BD 平面ADD1A1,

故AA1 BD.

(2)连结AC,设AC BD=0, 连结A1O,由底面ABCD是平行四边形得:O是AC的中点,由四

BCD棱台ABCD A知:平面ABCD∥平面A1B1C1D1,因为这两个平面同时都和平面1111ACA1C1相交,交线分别为AC、A1C1，故AC A1C1，又因为AB=2a, BC=a, ABC=120，

所以可由余弦定理计算得

，又因为A1B1=2a, B1C1

=

2

a, A1B1C1=120，所以

可由余弦定理计算得A1C1

2

a，所以A1C1∥OC且A1C1=OC，故四边形OCC1A1是平行四边形，

所以CC1∥A1O，又CC1 平面A1BD，A1O 平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.

9